2.2. Классификация множеств. Подмножества

 

          Для дальнейшего изучения множеств попытаемся дать некоторую их классификацию. Прежде всего, множества можно разделить на конечные и бесконечные.

          Конечным множеством называется такое множество, состоящее из конечного числа элементов. Примерами конечных множеств могут быть множество корней алгебраического уравнения n-й степени, множество букв русского алфавита, множество персонажей романа Михаила Булгакова «Мастер и Маргарита», множество атомов Солнечной системы. Причем неважно, известно число элементов множества или нет, главное, чтобы оно существовало.

          В математике приходится сталкиваться и с другими – не конечными, или, как принято говорить, с бесконечными множествами. Множество называется бесконечным, если оно состоит из бесконечного числа элементов. Таковы, например, множество всех натуральных чисел, множество точек окружности, множество прямых, проходящих через точку плоскости и т.д.

          К конечным множествам относится и множество, не содержащее элементов вообще. Такое множество называют пустым и обозначают Æ. Необходимость его введения вызвана тем, что, определяя множество с помощью некоторого условия, мы не всегда можем сказать заранее, содержит ли оно элементы или нет. Например, в 101 группе может не быть отличников и тогда А={а | а – отличник 101 группы}=Æ.

          Пустым множеством является и множество корней системы уравнений:

         Без введения пустого множества мы не могли бы, скажем, говорить о множестве корней произвольного уравнения, не убедившись предварительно, что данное уравнение имеет хотя бы один корень. Существование этого понятия сокращает и упрощает формулировки многих теорем, облегчает введение новых понятий.

Если каждый элемент множества В является также и элементом множества А, то говорят, что множество В называется подмножеством множества А.

          Обозначатся это следующим образом: В Í А  (В  включено в А).

          Например, {2, 4} Í {2, 3, 4, 5}. Множество пешек в шахматах является подмножеством шахматных фигур, множество квадратов – подмножеством прямоугольников, множество отличников 101 группы – подмножеством студентов этой группы.

          Подмножество В может и совпадать с множеством А, т.е. множества А и В будут состоять из одних и тех же элементов. В этом случае множества А и В называются равными: А=В (интуитивный принцип объемности). Например, множества X={2, 3} и Y={y | } состоят из чисел 2 и 3. Значит X=Y.

          Если в множествах А и В отличаются хотя бы одним элементом, то А¹В.

          Можно заметить, что само множество А является подмножеством самого себя:

А  Í А.                                                       (2.1)

         Действительно, по определению подмножества каждый элемент множества А является элементом множества А. Это свойство множества называют рефлективностью.

          Кроме того, пустое множество, по определению, считают подмножеством любого множества:

Æ Í А.                                                       (2.2)

          В самом деле, если Æ не является подмножеством А,  то в нем находится хотя бы один элемент, не содержащийся в множестве А. Но в Æ такого элемента нет, т.к. Æ не содержит ни одного элемента.

          Все множества, с которыми имеют дело в том или ином рассуждении, являются подмножествами некоторого множества I, т.е. для любого множества А

А Í I.

          В этом случае множество I называют универсальным множеством. Например, для алгебры универсальным множеством является множество действительных чисел. Если мы рассматриваем множества точек на плоскости, то универсальным будет множество всех точек на плоскости.

         Таким образом, у любого множества обязательно существуют хотя бы два подмножества: пустое множество и само множество. Эти два подмножества называются несобственными подмножествами. Любое подмножество, отличное от несобственного, называется собственным подмножеством данного множества.

         Множество всех подмножеств множества А называется множеством-степенью множества А и обозначается P(A). Например, для А={2, 3} множество-степень P(A)={А, {2}, {3}, Æ}, для А={1,2,3} множество-степень таково: P(A)={А, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, Æ}. Название «множество-степень» исходит из того, что число всех подмножеств n-элементного множества равно . Продемонстрируем данный результат. Множество, состоящее из одного элемента а, имеет два подмножества: Æ и {a}. Множество, состоящее из двух элементов а и b, имеет уже 4 подмножества: те же Æ и {a} и еще {b}, {a, b}. Добавим третий элемент с. Множество {a, b, c} кроме рассмотренных выше 4 подмножеств Æ, {a}, {b}, {a, b} имеет еще 4 подмножества {c}, {a, c}, {a, b}, {a, b, c}.Таким образом, ясно, что каждый раз прибавление еще одного элемента ведет к удвоению числа подмножеств. И множество, состоящее из n-элементов, имеет  подмножеств.

          Кроме свойств (2.1) и (2.2) выделяют следующие свойства отношения включения:

          если АÍВ  и ВÍС, то АÍС   (транзитивность);

          если АÍВ  и ВÍА, то А=В.                                                                                        (2.3)

         Для выражения (2.3) верно и обратное ему: если А=В, то АÍВ  и ВÍА. Эти выражения непосредственно вытекают из определений подмножества и равенства множеств.

         Множество А называется истинным подмножеством множества В, если АВ и А≠В. В этом случае записывают:

АÌВ.

         Так, {2, 4} Ì {2, 3, 4, 5}. Множество пешек в шахматах также будет истинным подмножеством шахматных фигур, а вот  множество отличников 101 группы может, чисто теоретически, совпадать с множеством студентов 101 группы.

         Для истинных подмножеств также выполняется свойство транзитивности: если АВ  и ВС, то АС.

Предыдущая | Главная | Глава 2 | Следующая