3.3. Понятие матрицы. Основные матричные операции

 

Если  выражений расставлены в прямоугольной таблице из строк и столбцов:

то говорят о матрице размера  , или сокращенно об - матрице. Выражения называются элементами матрицы. Положение элемента в таб­лице характеризуется двойным индексом; первый индекс означает номер строки, второй- номер столбца, на пересечении которых стоит элемент (нумерация строк производится сверху вниз, а столбцов — слева направо). Элементами матрицы, как правило, являются числа, но иногда и другие математические объекты, например, векторы, многочлены, дифференциалы и даже матрицы. Матрица обозначается следующими способами:

,    ,   _,

а также  или .

Матрица размера называется квадратной матрицей порядка п.

Определитель квадратной матрицы.

Каждой квадратной матрице порядка с действительными или комплексными элементами можно однозначно поставить в соответствие действительное или комплексное число , которое называется определителем матрицы .

,

причем сумма должна быть распространена на все подстановки набора чисел

Если - определитель порядка , то минором элемента называют определитель порядка , получающийся из  “вычеркиванием” i-й строки и j-го столбца.

Вычисление определителей.

Рассмотрим какую-либо четверку чисел, записанных в виде матрицы  по два в строках и по два столбцах. Определителем или детерминантом, составленным из чисел этой таблицы, называется число  ad—bc, обозначаемое так:.Такой определитель называется определителем второго порядка, поскольку для его составления взята таблица из двух строк и двух столбцов. Числа, из которых составлен определитель, называются его элементами; при этом говорят, что элементы  a  и  d  составляют главную диагональ определителя, а элементы  b  и  c его побочную диагональ. Видно, что определитель равен  разности произведений пар элементов, стоящих на его главной и побочной диагоналях. Определитель третьего и любого другого порядка находится примерно также, а именно:  Допустим, что у нас есть квадратная  матрица     . Определителем матрицы является  выражение:  +  + –  –– . С положительным знаком идут главная диагональ и образующиеся из элементов треугольники, имеющие параллельную главной диагонали сторону, в данном случае это треугольники , . С отрицательным знаком идут побочная диагональ и треугольники ей параллельные, т.е. , .

Основные операции над матрицами.

Основными арифметическими операциями над матрицами являются умножение матрицы на число, сложение и умножение матриц.

Матрицы равны, если они имеют одинаковые порядки и все их соответствующие элементы совпадают.

Перейдем к определению основных операций над матрицами.

  Сложение матриц:  Суммой двух матриц, например:  , имеющих одинаковое количество строк и столбцов, иными словами, одних и тех же порядков  называется матрица  тех же порядков , элементы которой равны:          

Для обозначения суммы двух матриц используется запись .  Операция составления суммы матриц называется их сложением

Итак по определению имеем:

+ =

Из определения суммы матриц, непосредственно вытекает, что операция сложения матриц обладает теми же свойствами, что и операция сложения вещественных чисел, а именно:

1)  переместительным свойством: 

2)  сочетательным свойством:  

Эти свойства позволяют не заботиться о порядке следования слагаемых матриц при сложении двух или большего числа матриц.

Умножение матрицы на число:

Произведением матрицы  на вещественное число   называется матрица , элементы которой равны  .

Для обозначения произведения матрицы на число используется запись C = A или  C = A. Операция составления произведения матрицы на число называется умножением матрицы на это число.

Умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:

1)  распределительным свойством относительно суммы матриц:

2)  сочетательным свойством относительно числового множителя:

 

3)  распределительным свойством относительно суммы чисел:

 ( +) A = A + A.

Перемножение матриц:

Произведением матрицы , имеющей порядки соответственно равные m и n, на матрицу , имеющую порядки соответственно равные n и p, называется матрица , имеющая порядки, соответственно равные m и p, и элементы c_ij, определяемые формулой

Для обозначения произведения матрицы A на матрицу B используют запись C = AB. Операция составления произведения матрицы A на матрицу B называется перемножением этих матриц. Из сформулированного выше определения вытекает, что матрицу A можно умножить не на всякую матрицу B: необходимо чтобы число столбцов матрицы A было равно числу строк матрицы B.  Для того чтобы оба произведения AB и BA не только были определены, но и имели одинаковый порядок, необходимо и достаточно, чтобы обе матрицы A и B были квадратными матрицами одного и того же порядка.

Это правило можно сформулировать и словесно: Элемент c_ij, стоящий на пересечении i-й строки и j-го столбца матрицы C = AB, равен сумме попарных произведений соответствующих элементов i-й строки матрицы A и j-го столбца матрицы B. В качестве примера применения указанного правила приведем формулу перемножения квадратных матриц второго порядка

 ×   =

 

Свойства произведения матрицы A на матрицу B:

1)  сочетательное свойство:  (AB) C = A (BC);

2)  распределительное относительно суммы матриц свойство:

(A + B) C = AC + BC  или  A (B + C) = AB + AC.

Предыдущая | Главная | Глава 3 | Следующая