3.4.      Решение систем линейных уравнений

 

Система линейных уравнений имеет вид

,

где - коэффициенты при неизвестных;

- свободные члены .

Прямоугольная таблица чисел

,

 

составленная из коэффициентов при неизвестных, называется матрицей системы.

Расширенной называется матрица

,

которая получается приписыванием к матрице системы столбцов свободных членов.

Система уравнений называется совместной, если она имеет хотя бы одно решение. Система совместна тогда и только тогда, когда ранг матрицы равен рангу ее расширенной матрицы (теорема Кронекера-Капелли). Совместная система уравнений имеет либо одно, либо бесконечно много решений. В первом случае она называется определенной, а во втором - неопределенной.

Система уравнений, не имеющая решений, называется несовместной. Если система уравнений содержит уравнение

, ,

называемое противоречивым, то она несовместна.

Две системы уравнений называются равносильными, если они имеют одни и те же решения. Если в системе вычеркнуть одно или несколько уравнений

,

называемых тривиальными, то получим систему уравнений, равносильную исходной.

Следующие преобразования системы линейных уравнений, называемые элементарными, не изменяют множество решений системы:

1)       умножение какого - либо уравнения системы на отличное от нуля число;

2)       прибавление к обеим частям i-го уравнения соответствующих частей j-го уравнения, умноженных на число k.

Формулы Крамера

Система линейных уравнений, в которой число уравнений равно числу неизвестных и определитель матрицы системы не равен 0, имеет единственное  решение, которое определяется по формуле Крамера:

 

,  ,   ...  , ,

 

где   – определитель матрицы системы;  - определитель получаемый из определителя   заменой k-го столбца столбцом  свободных членов.

 

Пример. Решить систему уравнений

 

Решение.  Вычислим определитель матрицы системы уравнений:

 

Следовательно, система уравнений имеет единственное решение, которое можно найти с помощью формул Крамера.

Вычислим определители:

,

,

.

          По формулам Крамера находим:

;                   ;                   .

Предыдущая | Главная | Глава 3 | Следующая