6.1. Понятие случайной величины. Закон распределения дискретной случайной величины

 

Достаточно часто на практике рассматриваются такие испытания, в результате реализации которых случайным образом получается некоторое число. Например, при бросании игрального кубика выпадает число очков от 1 до 6, при взятии 6 карт из колоды можно получить от 0 до 4 тузов. За определенный промежуток времени (скажем, день или месяц) в городе регистрируется то или иное количество преступлений, происходит какое-то количество дорожно-транспортных происшествий. Из орудия производится выстрел. Дальность полета снаряда также принимает какое-либо значение случайным образом.

Во всех перечисленных испытаниях мы сталкиваемся с так называемыми случайными величинами.

Числовая величина, принимающая то или иное значение в результате реализации испытания случайным образом, называется случайной величиной.

Понятие случайной величины играет весьма важную роль в теории вероятностей. Если «классическая» теория вероятностей изучала главным образом случайные события, то современная теория вероятностей преимущественно имеет дело со случайными величинами.

Далее будем обозначать случайные величины прописными латинскими буквами X, Y, Z и т.д., а их возможные значения – соответствующими строчными x, y, z. Например, если случайная величина имеет три возможных значения, то будем обозначать их так: , , .

Итак, примерами случайных величин могут быть:

1)           количество очков, выпавших на верхней грани игрального кубика:

2)           число тузов, при взятии из колоды 6 карт;

3)           количество зарегистрированных преступлений за день или месяц;

4)           число попаданий в мишень при четырех выстрелов из пистолета;

5)           расстояние, которое пролетит снаряд при выстреле из орудия;

6)           рост случайно взятого человека.

Можно заметить, что в первом примере случайная величина может принять одно из шести возможных значений: 1, 2, 3, 4, 5 и 6. Во втором и четвертом примерах число возможных значений случайной величины пять: 0, 1, 2, 3, 4. В третьем примере значением случайной величины может быть любое (теоретически) натуральное число или 0. В пятом и шестом примерах случайная величина может принимать любое действительное значение из определенного промежутка (а, b).

Если случайная величина может принимать конечное или счетное множество значений, то она называется дискретной (дискретно распределенной).

Непрерывной случайной величиной называется такая случайная величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Для задания случайной величины недостаточно перечислить ее всевозможные значения. Например, во втором и в третьем примерах случайные величины могли принимать одни и те же значения: 0, 1, 2, 3 и 4. Однако вероятности, с которыми эти случайные величины принимают свои значения, будут совершенно разными. Поэтому для задания дискретной случайной величины кроме перечня ее всех возможных значений нужно еще указать их вероятности.

Соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями называют законом распределения дискретной случайной величины.

Закон распределения можно задать в виде таблицы, формулы или графически.

При табличном задании закона распределения в первой строке таблицы записываются возможные значения случайной величины, а во второй – соответствующие значениям вероятности:

 

Такая таблица называется рядом распределения дискретной случайной величины X.

Так как случайная величина в результате испытания примет одно и только одно значение, то события: Х=, Х=, …, Х= образуют полную группу. Следовательно, из следствия 1 теоремы сложения вероятностей сумма вероятностей этих событий равна единице:

++…+==1.

Для наглядности ряд распределения случайной величины можно изобразить графически. Для этого в прямоугольной системе координат по оси абсцисс ОХ  будем откладывать значения случайной величины , k=1, 2, …,  n, а по оси ординат OY – соответствующие им вероятности . Полученные точки соединяются отрезками прямых. Построенная таким образом фигура называется многоугольником распределения (рис.6.1).

Рис. 6.1

 

Многоугольник распределения, также как и ряд распределения, полностью характеризует случайную величину. Он является одним из форм закона распределения.

Пример 6.1. Случайным образом бросается монета. Построить ряд и многоугольник распределения числа выпавших гербов.

Случайная величина, равная количеству выпавших гербов, может принимать два значения: 0 и 1. Значение 1 соответствует событию - выпадение герба, значение 0 – выпадению решки. Вероятности выпадения герба и выпадения решки одинаковы и равны . Т.е. вероятности, с которыми случайная величина принимает значения 0 и 1, равны . Ряд распределения имеет вид:

 

 

Многоугольник распределения изображен на рис.6.2.

 

Рис. 6.2

 

Пример 6.2. Построить ряд распределения числа очков, выпавших при броске кубика.

Случайная величина Х принимает следующие значения: Х=1, 2, 3, 4, 5, 6, соответствующие выпадениям «единицы», «двойки», «тройки», «четверки», «пятерки», «шестерки» на верхней грани кубика. Так как все эти события равновозможны, то соответствующие значениям случайной величины вероятности равны  . Значит, ряд распределения запишется в таком виде:

 

Биномиальное распределение

Пример 6.3.  Построить ряд распределения числа выпавших гербов при двух бросках монеты.

Случайная величина – количество выпавших гербов при двух подбрасываниях монеты, в отличие от примера 6.1, может принимать три значения: 0, 1 и 2. Значение =0 соответствует тому, что герб не выпал ни разу, значение =1 соответствует выпадению герба и решки или решки и герба, значение =2  – выпадению двух гербов. Соответствующие вероятности можно найти по формуле Бернулли, но еще легче по теоремам умножения и сложения вероятностей: ;  ;  .  .

Ряд распределения запишется в виде:

 

 

Пример 6.4. Стрелок производит три выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,6. Построить ряд и многоугольник распределения числа попаданий в мишень.

Случайная величина Х – число попаданий в мишень при трех выстрелах. Возможные значения Х: =0, =1, =2, =3. Вероятность того, что произойдут k попаданий (k=0, 1,  2, 3) при трех выстрелах подсчитывается по формуле Бернулли (5.7):

   (0£ k£ 3),

где вероятность попадания при одном выстреле p=0,6 , q  - вероятность промаха, q=1–0,6=0,4.

 

===0,064;

===3=0,288;

===3=0,432;

===0,216.

 

          Ряд распределения случайной величины Х имеет вид:

 

         

Можно проверить, что, действительно, =0,064+0,288+0,432+ +0,216=1.

          Многоугольник распределения числа попаданий при трех выстрелах изображен на рис.6.3.

Рис. 6.3

         

          Распределения случайных величин в примерах 6.3 и 6.4 являются частными случаями биномиального распределения вероятностей при n=2 и n=3.

Биномиальным называется распределение вероятностей, определяемое формулой Бернулли:

 (0£ k£ n).                                          (6.1)

          Формула (6.1) является аналитическим выражением биномиального закона распределения.

          По биномиальному закону распределена случайная величина Х числа появлений события А при проведении n независимых испытаний, если вероятность появления события А в каждом испытании одинакова и равна p (q=1–p). В n испытаниях событие А может вообще не появиться, появиться 1 раз, 2 раза, 3 раза, …, n раз. Таким образом, возможные значения Х таковы: =0, =1, =2, =3, …, =n. А соответствующие им вероятности подсчитываются по формуле Бернулли (6.1). Ряд распределения в этом случае будет таким:

          Cумма вероятностей, соответствующих возможным значениям случайной величины, записывается в виде бинома Ньютона:

+++…++…+==.   (6.2)

          Естественно, что в формуле (6.2) p+q=1 и поэтому =1.

Геометрическое распределение

Пример 6.5. Стрелком производятся выстрелы по мишени до первого попадания. Вероятность попадания в каждом выстреле равна p=0,6. Построить ряд распределения количества произведенных выстрелов.

Обозначим через Х дискретную случайную величину – число произведенных выстрелов до первого попадания. Возможными значениями Х являются натуральные числа =1, =2, =3, …. Множество значений Х является бесконечным счетным множеством, как и ряд натуральных чисел.

Вероятность того, что случайная величина принимает значение =1, т.е. попадание происходит при 1-м выстреле, по условию задачи равна =p=0,6. Вероятность принятия случайной величиной значения =2 (попадание происходит при 2-м выстреле) подсчитывается как вероятность сложного события по теореме умножения вероятностей. Непопадание в мишень в первом выстреле и попадание во втором – события независимые. Поэтому =(1–p) ×p=(1–0,6)×0,6=0,4×0,6=0,24. Аналогичным образом находятся вероятность  значения случайной величины =3: =(1–p) ×(1–p) ×p=(1–0,6)× (1–0,6)×0,6=0,4×0,4×0,6=0,096, вероятность =×0,6=×0,6=0,0384, =×0,6=×0,6=0,01536 и т.д.

Подсчитаем вероятность того, что случайная величина принимает значение =k. Это означает, что попадание произошло лишь в k-м выстреле, а до этого был k-1 промах. Так как все выстрелы независимы друг от друга, то по теореме умножения вероятностей =.

Таким образом, ряд распределения случайной величины запишется так:

 

Многоугольник распределения случайной величины построен на рис.6.4 до значения =5 (множество значений дискретной случайной величины – бесконечное)

Рис. 6.4

 

Можно заметить, что ряд вероятностей, соответствующих значениям случайной величины, образует бесконечную убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем q=0,4 и первым членом p=0,6:

0,6; 0,6×0,4; 0,6×; 0,6×; 0,6×; … .

Поэтому распределение случайной величины в примере (6.5) называют геометрическим.

Геометрическим называется распределение вероятностей случайной величины Х, которое определяется следующим законом:

,   k³1.

          Здесь p – вероятность наступления события А, q - вероятность того, что событие А не произойдет: q=1–p. Случайная величина Х определяется как число независимых испытаний, которые нужно произвести до первого появления события А.

          Очевидно, что возможными значениями Х является множество натуральных чисел xÎN. То, что случайная величина принимает значение =k, означает, что в первых k-1 испытаниях А не наступило, а в k-м появилось. Вероятность этого подсчитывается по теореме умножения вероятностей для независимых событий: =. Сумма вероятностей всех значений определяется по формуле суммы членов убывающей геометрической прогрессии со знаменателем q и первым членом p:

++…++…====1.

Предыдущая | Главная | Глава 6 | Следующая