3.1. Натуральные, целые, рациональные и действительные числа

 

Числа, с которыми обычно приходится иметь дело — натуральные, целые (положительные и отри­цательные), рациональные и иррациональные, - со­ставляют множество действительных чисел.

Система аксиом действительных чисел.

Множество R действительных чисел может быть охарактеризовано следующими шестнадцатью ак­сиомами.

Аксиомы  сложения.

1. Для    любых    чисел    , определено единственное число , называемое суммой чисел .

2. Для любых  имеет место соотноше­ние   (коммутативность).

3.  Для   любых имеет   место соотношение  (ассоциатив­ность).

4. Существует число такое, что  для   всех  .   Числоносит   название   нуль.

5. Для  любого   числа существует число такое, что .

Аксиомы   умножения.

6. Для любых чисел  определено един­ственное число называемое произведением  чисел.

7. Для любых  имеет место  соотноше­ние  (коммутативность).

8. Для любых  имеет место соотно­шение  (ассоциативность).

9. Существует   число  такое, что    для     всех . Число 1 носит название единица.

10 Дня любого , существует , такое что

11. Для любых  имеем  (дистрибутивность).

Таким образом, множество R образует от­носительно сложения коммутативную группу, а множество R без нуля образует коммутативную группу относительно умножения.

Следствия из аксиом сложения и умножения.

 1) Для двух действительных чисел имеется ровно одно действительное число , такое, что . Число  называется разностью чисел обозначается . При этом говорят, что  - уменьшаемое,  -  вычитаемое и   вычитается из . В случае  пишут  .  Таким образом, число  из аксиомы 5 однозначно определено.

2) Для любого имеем:.

3)  Для любых имеем:  эквивалентно тому, что ;

;

4)  Из следует,  что  либо.  либо.

5) Для действительных чисел и, где. существует единственное действительное число  такое, что. Число  называется частным (дробью) от деления  на  и обозначается    или    При   этом      называется   делимым

(числителем), а  — делителем (знаменателем).

6) Для любого  имеем .

7} Для     любых равенство эквивалентно том, что; крометого,                          

8)  Для    любых   , и    любого  выполняется соотношение

9)  Для   любого справедливо   равенство

10)  Для любых  выполняется равенство .

11)    Множество  действительных чисел обладает вследствие указанных свойств алгебраической с грук-турой поля (коммутативного тела].

Кроме того, в  вводится отношение порядка (“больше”, “меньше”, “равно”), удовлетворяющее следующим аксиомам.

Аксиомы  порядка.

12.  Для двух чисел , имеет место  одно (и только одно) из трех соотношений:   и

13.  Для   любых   таких,   что    и, справедливо соотношение  (транзи­тивность).

14.  Для любых таких, что, спра­ведливо соотношение.

15.  Для  любых    таких,  что     и, справедливо соотношение.

Если , то говорят, что а меньше b (или  больше ); в этом случае пишут также . Если или , или , то пишут . Действительные числа, удовлетворяющие неравенству , называются положительными; действительные числа, удовлетворяющие неравен­ству , называются отрицательными.

Следствия из аксиом порядка.

1)   Если  

2)   Если .

3)   Если .

4)   .

5)   Если .

16.  Принцип   непрерывности   Дедекинда.   Пусть множество  действительных чисел разделено на два   класса    так,   что:   а)   классы     не  пусты; б) каждое действительное число относится    только    к    одному    классу;    в)    из условий  следует, что .

Тогда существует единственное действительное число  такое, что все действительные числа, удовлетворяющие неравенству , принадлежат классу , а все действительные числа, удовлет­воряющие неравенству , принадлежат классу . Число  называется сечением множества действительных чисел.

Множестводействительных чисел пол­ностью определяется указанными аксиомами 1 — 16.

Геометрическое изображение дей­ствительных чисел.

Если на прямой заданием точки О и единичного вектора введена система координат, то каждая точка М прямой  однозначно определяется своей координатой . Таким образом, каждой точке М прямой g соответ­ствует одно действительное число , и обратно: каждому действительному числу,  соответствует одна точка М прямой . Прямая  называется числовой прямой. Таким образом, точки прямой и соответствующие им действительные числа могут употребляться равнозначно. При этом говорят: точка а лежит левее b (или b лежит правее а ) в случае, если а < b. В частности, отрицатель­ные числа лежат левее нулевой точки О, а положительные числа — правее точки О.

Натуральные, целые и рациональные числа.

К понятию натуральных чисел приходят в процессе счета. Натуральные числа получаются путем последовательного прибавления 1, начиная с 1. Множество натуральных чисел обладает следующими свойствами:

1.     .

2.    Из .

3.    Если    тогда   и   только тогда, когда .

4.    Если  - подмножество    со  свойствами: а) ;  б)  из    .

Свойство 4 выражает тот факт, что таким путем последовательного прибавления получаются все натуральные числа. Это свойство называется аксиомой индукции. Оно позволяет проводить дока­зательства по индукции.

Из принципа непрерывности Дедекинда вытекает Аксиома Архимеда. Для каждого действитель­ного числа  существует натуральное число  такое, что .

Сумма и произведение натуральных чисел суть натуральные числа. Однако если , то . Следующее определение приводит к та­кому расширению области натуральных чисел, в котором операция вычитания выполнима неограни­ченно: действительное число g называется целым числом, если существуют такие натуральные числа п и т, что .

Сумма, разность и произведение целых чисел - всегда целые числа. Множество целых чисел Z образует коммутативное кольцо. Частное от деления целых чисел не всегда есть целое число.

Действительное число а называется рациональ­ным, если существуют такие целые числа . В противном случае а называется иррациональным.

Числа не определены однозначно числом а: числитель и знаменатель дроби могут быть домножены на одно и то же целое число

Множество     рациональных  чисел обозначается Q.

Каждое действительное число может быть записано в виде десятичной дроби. При этом рациональным числам и только им соответствуют периодические десятичные дроби. Однако, например, разложение в десятичную дробь действительного числа , т. е. такого однозначно определенного положительного действительного числа, квадрат которого равен 2, не является периодическим. Таким образом,  — иррациональное число. Мно­жество рациональных чисел бесконечно и счетно, а множество иррациональных чисел несчетно. Множества Q и R\Q всюду плотны в R, т. е. в каждом интервале существует как рациональные, так и иррациональные числа.

Предыдущая | Главная | Глава 3 | Следующая