4.3. Логические операции

 

Рассмотрим более подробно некоторые логические связки, позволяющие конструировать из простых высказываний сложные. В математической логике такие связки называются логическими операциями.

Операция отрицания

Самой простой логической операцией, применяемой только к одному высказыванию, является операция отрицания, которая в русском языке соответствует частице «не».  Отрицание высказывания А обозначается ØА или . Символ  читается «не А» или «не верно, что А». Например, если высказывание А – «подсудимый виновен», то  - «подсудимый не виновен».

По смыслу, отрицание высказывания – высказывание, противоположное данному. То есть, если высказывание А – истинное, то высказывание  - ложное, и наоборот, если А – ложное, то - истинное. Запишем в виде таблицы значения нового, сложного высказывания  в зависимости от значений простого А, на основе которого оно построено.

 

Подобная таблица называется таблицей истинности. Именно эту таблицу берут за определение операции отрицания. Высказывание  называется отрицанием высказывания А, если оно истинно, когда А ложно, и ложно, когда А истинно.

Дизъюнкция высказываний или логическое «или»

Операция дизъюнкция применяется к двум высказываниям А и В и соответствует соединению их с помощью союза «или». Дизъюнкция обозначается с помощью знака Ú, который ставится между высказываниями: АÚВ, что читается «А или В» или «или А, или В». Например, «Грабеж может быть совершен с применением физического или психического насилия», «Договор может быть заключен в устной или в письменной форме».

Рассмотрим значение составленного сложного высказывания АÚВ. Если одно из высказываний истинно, а другое ложно, то дизъюнкция будет истинной. Если оба простых высказывания А и В ложны, то и дизъюнкция будет ложной. А вот если оба высказывания А и В истинны, то существует два случая. Это связано с тем, что в русском языке союз «или» имеет два значения. Одно из них неисключающее «или», а другое – исключающее. Например, высказывание «Или я выучу этот материал, или получу двойку» при истинных его составляющих будет ложно. Здесь «или» понимается в исключающем смысле. А высказывание «Сейчас идет снег или дождь» – истинно, если оба высказывания «Сейчас идет снег», «сейчас идет дождь» – истинны и в этом случае союз «или» – неисключающий.

В логике высказываний дизъюнкция соответствует неисключающему «или». Можно дать следующее определение этой логической операции. Дизъюнкция АÚВ – сложное высказывание, которое ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В одновременно ложны. Таблица истинности операции дизъюнкция будет следующей:

 

 

Значения операции АÚВ (кроме первой строчки), как видно из таблицы, получаются простым алгебраическим сложением значений А и В. Поэтому дизъюнкцию также называют логическим сложением и обозначают, также как и в алгебре, знаком «+». Иногда знаком «+» обозначают операцию исключающего «или».

Конъюнкция высказываний или логическое «и»

Операция конъюнкция применяется также к двум высказываниям А и В и соответствует соединению их с помощью союза «и». Она обозначается с помощью знака Ù или &, который ставится между высказываниями: АÙВ, что читается «А и В» или «и А, и В». Например, «Юрист должен знать и теорию государства и права, и историю, и информатику и математику». «Это преступление наказывается лишением свободы и конфискацией имущества». «Оскорбление – это унижение чести и достоинства человека...».

Рассмотрим значение конъюнкции, исходя из смысла союза «и». Если оба высказывания А и В будут истинными, то и конъюнкция АÙВ будет истинной. Если же хотя бы одно из них (или оба) будут ложными, то и конъюнкция также будет ложной. Например, высказывание «3 – нечетное число и 3 делится на 2» будет ложным. Исходя из этого, можно дать следующее определение операции конъюнкция.

Конъюнкция АÙВ  – сложное высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В одновременно истинны. Таблица истинности операции конъюнкция такова:

 

 

Проанализировав приведенную таблицу, можно заметить, что значения операции АÙВ получаются простым алгебраическим умножением значений А и В. Поэтому конъюнкцию также называют логическим умножением и обозначают, также как и в алгебре, знаком «×», который, также как и в алгебре, может опускаться.

Импликация высказываний

Одной из важнейших логических операций является операция импликация. Она соответствует объединению двух высказываний с помощью союза «если …, то …». Импликация обозначается с помощью знака ®, ставящегося между высказываниями:  А®В, что читается «А имплицирует В» или «если А, то В». В научной литературе по логике высказываний также приводятся другие варианты прочтения этой операции: «А влечет В», «из А следует В», «В только если А». А для обозначения импликации применяются знаки  Þ,  É.

Примеры. Гражданский кодекс РФ: «Если банк отказывает в принятии документов ..., то он обязан незамедлительно проинформировать об этом получателя средств». «Если новый уголовный закон смягчает наказание за деяние, которое отбывается лицом, то это наказание подлежит сокращению в пределах, предусмотренных новым уголовным законом. Статья 10 УК РФ». «Если осужденный после отбытия наказания вел себя безупречно, то по его ходатайству суд может снять с него судимость до истечения срока погашения судимости. Статья 86 УК РФ». «Если 2*2=4, то 3+2=6».

Операция импликации определяется следующим образом.

Импликация высказываний А и В (А®В) – сложное высказывание, которое истинно всегда, кроме случая когда А – истинно, а В – ложно. Таким образом, таблица истинности импликации такова:

 

 

Проанализируем соответствие определения импликации с общепринятым значением сложноподчиненного предложения с использованием союза «если ..., то ...». Рассмотрим следующее сложное высказывание: "Если гражданин Иванов совершил кражу, то он может быть наказан лишением свободы на срок до двух лет". Если оба простые высказывания "гражданин Иванов совершил кражу" и "он может быть наказан лишением свободы на срок до двух лет" истинны, то истинность сложного высказывания не вызывает сомнения. При истинности совершения кражи невозможность применения наказания в виде лишения свободы на срок до двух лет должно быть оценено нами как ложное высказывание, так как такое наказание предусмотрено статьей 158 Уголовного кодекса РФ. При ложном первом высказывании "гражданин Иванов совершил кражу" применение данного вида наказания к Иванову все же может быть осуществимо, если он, например, обвиняется по статье 127 УК РФ ("Незаконное лишение свободы") или по статье 139 часть 2 УК РФ ("Нарушение неприкосновенности жилища"). Поэтому оценивание сложного высказывания как истинного соответствует истинности импликации при этих значениях простых высказываниях в конкретных определенных условиях. И, наконец, при ложности простых высказываний, т.е. истинности противоположных: "гражданин Иванов не совершил кражу" и "он не может быть наказан лишением свободы на срок до двух лет", рассмотренная причинно-следственная связь является истинной.

Рассмотрим следующие высказывания:

·       «Волга впадает в Каспийское море» -  истинное высказывание;

·       «Дон впадает в Каспийское море» - ложное высказывание;

·       «Дважды два – четыре» - истинное высказывание;

·       «Дважды два – пять » - ложное высказывание.

         Составим из этих простых высказываний сложные с помощью союза «если ..., то ...» и, интерпретируя использованный союз как импликацию, оценим значения полученных высказываний.

·       «Если Волга впадает в Каспийское море, то дважды два – четыре» - истинное высказывание;

·       «Если Волга впадает в Каспийское море, то дважды два – пять» - ложное высказывание;

·       «Если Дон впадает в Каспийское море, то дважды два – четыре» - истинное высказывание;

·       «Если Дон впадает в Каспийское море, то дважды два – пять» - истинное высказывание.

         Эти утверждения не соответствуют привычному для естественного языка употреблению союза «если ..., то ...». Поэтому импликация лишь до некоторой степени соответствует этому союзу. И математически корректнее операцию А®В  читать не «если А, то В», а  «А имплицирует В». Операция импликации А®В  хорошо описывается союзом «если ..., то ...» в случаях:

·         описания причинно-следственной связи между А и В. Например, "Если долго мучиться, то что-нибудь получится";

·         выражения логического следования В из А. Например, "Если все люди смертны и Сократ – человек, то Сократ смертен".

В этих высказываниях существует связь между содержанием высказываний А и В, объединенных союзом. В логике высказываний рассматриваются только значения истинности высказываний, а не их содержание. Тем самым логические операции не выражают связь между содержанием высказываний. Логические операции, образующие из простых высказываний сложные, определяют только соотношения между значениями истинности этих высказываний.

Операция эквивалентность или двойная импликация

Последней введем операцию эквивалентности. Эта операция обозначается символом «, либо ~. Сложное высказывание А«В читается: "А эквивалентно В", либо "А равносильно В", либо "А тогда и только тогда, когда В", либо "В, если и только если А". Эквивалентность примерно соответствует употреблению выражения "тогда и только тогда, когда", хотя, как и в случае с импликацией, такое соответствие далеко не полное.

Приведем примеры использования операции эквивалентности. «Два треугольника равны  тогда и только тогда, когда три стороны одного треугольника равны соответствующим сторонам другого треугольника». «Деяние кража равносильно тайному хищению чужого имущества». «Распространение заведомо ложных сведений является клеветой, если и только если эти сведения порочат честь и достоинство другого лица или подрывают его репутацию».

Эквивалентность высказываний А и В (А«В) – сложное высказывание, которое истинно, когда А и В одновременно либо истинны, либо ложны и ложно во всех других случаях. Эквивалентность определяется следующей таблицей истинности:

 

 

Эквивалентность соответствует двум операциям импликации, соединенных конъюнкцией. А«В равносильно (A ® B)Ù(A ® B) , т.е. имеет такую же таблицу истинности (рассмотрим это позднее). Поэтому эквивалентность также называют двойной импликацией.

Предыдущая | Главная | Глава 4 | Следующая