5.5. Вычисление вероятности с помощью классического определения
Решение задач с помощью классического определения можно
представить в виде следующей схемы.
1. Во-первых, необходимо четко представить,
в чем состоит испытание (эксперимент, опыт), в результате реализации которого
происходит или не происходит интересующее нас случайное событие А.
2. Во-вторых, мы должны определить,
сводится ли это испытание к схеме случаев. Для этого:
а) нужно сформулировать, что можно
рассматривать в качестве элементарных исходов испытания (обычно при решении
задач в качестве элементарных исходов берут самые простые исходы, которые уже
нельзя «расщепить», хотя это вовсе и не обязательно);
б) элементарные исходы должны
образовывать полную группу событий, т.е. одно и только одно из них должно
произойти в результате реализации испытания;
в) они должны быть равновозможны, исходя из симметрии исходов испытания;
г) количество элементарных исходов n (их нужно найти!) должно быть конечным.
Только при выполнении всех этих
условий для расчета вероятности случайного события можно пользоваться
классическим определением.
3.
В-третьих, необходимо определить элементарные исходы, благоприятные
случайному событию А, т.е. такие, при
реализации которых А происходит.
Число благоприятных исходов m (как в прочем и n) часто находится с помощью формул комбинаторики.
4. И, наконец, согласно классическому
определению вероятность случайного события А - P(A) определится как отношение числа исходов, благоприятствующих
этому событию m, к общему числу элементарных исходов
n:
P(A) = 
.
Пример 5.12. Какова вероятность выигрыша в
лотерее 5 из 36 (для выигрыша необходимо совпадение всех 5 чисел)?
Решение. Испытание состоит в случайном выборе
5 чисел из 36 возможных. Элементарные исходы испытания – это всевозможные
наборы 5 чисел, различающиеся только по составу и не различающиеся по
расположению чисел, так как порядок выпадения чисел не имеет значения. Примеры
элементарных исходов: 1,2,3,4,5; 1,2,3,4,6 и т.д. Из случайности выбора очевидно,
что такие исходы – равновозможны. Общее количество
элементарных исходов, образующих полную группу событий как всевозможных
вариантов розыгрыша 5 чисел из 36, равно числу сочетаний из 36 по 5 , т.е. n=
.
Число благоприятных вариантов для выигрыша (совпадение всех 5 чисел) равно
одному: m=1 – только на одну комбинацию чисел
приходится полный выигрыш. Таким образом, вероятность выигрыша в этой лотерее
.
Пример 5.13. Какова вероятность того, что номер
случайно выбранной автомашины не содержит одинаковых цифр?
Решение. Здесь испытание состоит в выборе
случайным образом номера автомобиля, состоящего из трех цифр (мы не
рассматриваем буквенные отличия номеров). Элементарные события – всевозможные
номера (трехзначные числа, начиная от 001 и заканчивая 999). Полное количество
элементарных исходов испытания – количество всех номеров – n=999.
В примере 5.10 мы нашли количество
номеров автомашин, цифры которых не повторялись. Для нашего примера это число –
количество благоприятных исходов m искомого случайного события А. m=
. Значит, вероятность того, что номер случайно выбранной
автомашины не будет содержать одинаковых цифр
.
Пример 5.14. Курсант
выучил 40 экзаменационных вопросов из 60. Каждый билет состоит из двух
вопросов, распределенных случайным образом. Найдите вероятность того, что
курсант знает а) оба вопроса из вытащенного наугад билета; б) хотя бы один вопрос.
Решение.
Рассмотрим испытание, состоящее в выборе билета, т.е. двух вопросов из 60.
Общее количество исходов такого испытания равно числу сочетаний (порядок
вопросов в билете несущественен) из 60 по 2. Они равновозможны,
образуют полную группу событий и число их конечно n=
.
По формуле (5.3) n=
.
Значит, испытание сводится к схеме случаев и можно пользоваться классическим
определением вероятности. Количество благоприятных исходов события А – курсант знает оба вопроса из доставшихся
– определяется числом сочетаний из 40 по 2.
=
. Вычисляем по той же формуле:
. Подставляя найденные и n в формулу (5.1), получим искомую вероятность 
.
Найдем вероятность события В – курсант знает хотя бы один вопрос из двух доставшихся.
Множество благоприятных исходов данного события состоит из множества
благоприятных исходов события А
(курсант знает оба вопроса в билете) и множества исходов, при которых курсант
знает один вопрос, а другой – нет. Число таких исходов равно произведению числа
выученных вопросов (способы выбора первого вопроса) на число не выученных вопросов (способы выбора второй
вопрос), т.е. 40 20=800. Таким образом, 
. И вероятность события В:
.
Пример 5.15. Бросаются две
игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 8.
Решение. Испытание
состоит в броске двух костей (идеальных кубиков). Элементарным событием будет
упорядоченная пара целых чисел от 1 до 6. Например, (1,4), что означает
выпадение единицы на первой кости и четверки – на второй. Все элементарные
исходы можно представить в следующей таблице:
.
Число
элементарных исходов равно 36. Так как броски никак не зависят друг от друга,
то элементарные исходы – равновозможны.
Обозначим случайное событие А – получение в сумме 8 очков. Благоприятные
исходы этого события: (2,6), (3,5), (4,4), (5,3), (6,2). Всего 5 исходов.
Значит, вероятность того, что в сумме на двух игральных костях выпадет восемь очков,
равна:
.
Пример 5.16. Задача
ландскнехта! Однажды
к Галилею за консультацией обратился ландскнехт. Его интересовал вопрос: что
вероятнее при броске трех игральных костей – получить в сумме 11 или 12. Он
заявил, что согласно логике обе эти суммы должны выпадать одинаково часто, но
на опыте (а ландскнехт проделал его несколько тысяч раз) сумма 11 выпадала чаще
12.
В качестве элементарных событий испытания, состоящего в
бросании трех костей и подсчитывании при этом суммы всех очков, ландскнехт взял
варианты разложения получающейся суммы. Так, и 11, и 12 в сумме можно получить
шестью различными способами:
11=1+4+6=1+5+5=2+3+6=2+4+5=3+3+5=3+4+4,
12=1+5+6=2+4+6=2+5+5=3+4+5=3+3+6=4+4+4.
Отсюда, по его мнению, и вытекает равная вероятность
выпадения этих сумм.
Однако Галилей нашел ошибку в его рассуждениях. Оказывается,
варианты разложения сумм нельзя брать в качестве элементарных событий в таком
виде, как это делал ландскнехт, потому что они не равновозможны.
Действительно, разложение 4+4+4 может быть получено единственным образом, когда
четверка выпадает на всех трех костях. Разложение 1+5+5 может быть получено уже
тремя различными способами: 1+5+5=5+1+5=5+5+1, когда единица выпадает на
первой, либо на второй, либо на третьей кости, а на других – пятерки. А
разложение 1+4+6 можно представить шестью различными вариантами: 1+4+6 = 1+6+4
= 4+1+6 = 4+ 6+1= 6+1+4 = 6+4+1. Здесь, к примеру, сумма 1+4+6 означает, что
единица выпала на первой кости, четверка - на второй, а шестерка – на третьей.
Таким образом, общая сумма в 11 очков может быть получена 27 различными
способами, а 12 - только 25 способами. В качестве элементарного события
необходимо брать упорядоченную тройку целых чисел, каждое из которых изменяется
от 1 до 6, например (1, 2, 5). Общее
количество элементарных исходов подсчитывается из правила произведения: 6×6×6=
=216. И, согласно классическому определению, вероятность
выпадения суммы в 11 очков 
, а суммы в 12 очков - 
. Эти события имеют разную вероятность, хотя разность вероятностей
составляет всего 0,009.
В рассмотренных задачах для использования классического
определения вероятности в расчетах необходимо выполнение следующих условий:
1) число элементарных событий, образующих полную
группу, должно быть конечным;
2) данные элементарные события должны быть равновозможны.
Если не выполнено хотя бы одно из двух условий, классическое
определение не применимо. На практике существует много экспериментов, элементарные
события которых не удовлетворяют первому или второму условию. Следовательно,
для них нельзя находить вероятности случайных событий, пользуясь классическим
определением. Однако существуют другие определения вероятности, не обладающие
рассмотренными недостатками.
Предыдущая | Главная | Глава 5 | Следующая