5.9. Вероятность произведения событий

 

Мы уже знаем, что вероятность – это численная мера возможности наступления случайного события, т.е. события, которое может произойти, а может и не произойти при осуществлении определенной совокупности условий. При изменении совокупности условий вероятность случайного события может измениться. В качестве дополнительного условия мы можем рассмотреть наступление другого события. Итак, если к комплексу условий, при котором происходит случайное событие А, добавить еще одно, состоящее в наступлении случайного события В, то вероятность наступления события А будет называться условной.

Условная вероятность события А — вероятность появления события А при ус­ловии, что произошло событие В. Условная вероятность обозначается (A).

Пример 5.23. В ящике имеются 7 белых и 5 черных шаров, отличаю­щихся лишь цветом. Опыт состоит в том, что случайным образом вынимают один шар и, не опуская его обратно, вынимают еще один шар. Какова вероятность, что, второй вынутый шар – черный, если при первом извлечении достали белый шар?

Решение. Перед нами два случайных события: событие А – первый вынутый шар оказался белым, В – второй вынутый шар - черный. Очевидно, что данные испытания сводятся к схеме случаев и мы можем пользоваться классическим определением вероятности. Число элементарных исходов при извлечении первого шара – 12, а число благоприятных исходов достать белый шар – 7. Следовательно, ве­роятность P(А) = 7/12.

Если первый шар оказался белым, то условная вероятность события В — появления второго черного шара (при условии, что первый шар был белым) — равна (В) = 5/11, так как перед выни­манием второго шара осталось 11 шаров, из которых 5 черных.

Отметим, что вероятность появления черного шара при втором извлечении не зависела бы от цвета вынутого первого шара, если, вы­нув первый шар, мы положили бы его обратно в ящик.

Рассмотрим два случайных события А и В. Пусть вероятности P(А) и (В) известны. Определим, чему равна вероятность появления и события А, и события В, т.е. произведения этих событий.

Теорема умножения вероятностей. Вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную при том условии, что первое событие произошло:

Р(А× В) = Р(А)×(В) .

 

Так как для вычисления вероятности произведения не играет роли какое из рассмотренных событий А и  В было первым, а какое вторым, то можно записать:

Р(А× В) = Р(А) ×(В) = Р(В) ×(А).

Пример 5.24. Для условий предыдущего примера вычислить вероятность извлечения двух шаров: а) белого  шара первым, а черного вторым; б) двух черных шаров.

Решение. а) Из предыдущего примера мы знаем вероятности достать из ящика белый шар первым и черный шар вторым, при условии, что первым извлекли белый шар. Для подсчета вероятности появления обоих событий вместе воспользуемся теоремой умножения вероятностей: Р(А× В) = Р(А) ×(В)= .

б) Аналогично рассчитаем вероятность вынуть два черных шара. Вероятность достать первым черный шар . Вероятность достать черный шар во второй раз при условии, что первый вынутый черный шар мы не опускаем обратно в ящик  (черных шаров осталось 4, а всего шаров стало 11). Результирующую вероятность можно подсчитать по формуле Р(А×В)= Р(А) ×(В)  0,152.

Теорема умножения вероятностей имеет более простой вид, если события А и В независимые.

Событие В называют независимым от события А, если вероят­ность события В не изменяется от того, произошло событие А или нет. Если событие В является независимым от события А, то его условная  (В) равна обычной вероятности P(В):

 (В)= P(В).

Оказывается, что если событие В будет независимым от события А, то и событие А будет независимым от В, т.е.  (А)= P(А).

Докажем это. Подставим равенство из определения независимости события В от события А в теорему умножения вероятностей: Р(А×В) = Р(А)×(В)= Р(А)×(В). Но с другой стороны Р(А× В) = Р(В) ×(А). Значит Р(А) ×(В)= Р(В) ×(А) и  (А)= P(А).

Таким образом, свойство независимость (или зависимость) событий всегда взаимно и можно дать следующее определение: два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятность появления другого.

Следует отметить, что в основе независимости событий лежит независимость физической природы их происхождения. Это означает, что наборы случайных факторов, приводящих к тому или иному исходу испытания одного и другого случайного события, различны. Так, например, поражение цели одним стрелком никак не влияет (если, конечно, не придумывать никаких экзотических причин) на вероятность попадания в цель вторым стрелком. На практике независимые события встречаются очень часто, так как причинная связь явлений во многих случаях отсутствует или несущест­венна.

Теорема умножения вероятностей для независимых событий. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятности этих событий:

Р(А×В) = Р(А) × P(В).

 

Из теоремы умножения вероятностей для независимых событий вытекает следующее следствие.

Если события А и В несовместные и P(A)¹0, P(В)¹0, то они зависимы.

Докажем это способом от противного. Предположим, что несовместные события А и В независимы. Тогда Р(А×В) = Р(А) ×P(В). И так как P(A)¹0, P(В)¹0, т.е. события А и В не являются невозможными, то Р(А×В)¹0. Но, с другой стороны, событие АžВ является невозможным как произведение несовместных событий (это рассматривалось выше). Значит Р(А×В)=0. получили противоречие. Таким образом, наше исходное предположение неверно. События А и В – зависимые.

Пример 5.25. Вернемся теперь к нерешенной задаче о двух стрелках, стреляющих по одной цели. Напомним, что при ве­роятности попадания в цель первым стрелком –  0,8, а вторым 0,7 необходимо найти вероятность поражения цели.

 События А и В – попадание в цель соответственно первым и вторым стрелком – совместные, поэтому для нахождения вероятности суммы событий А + В – поражение цели хотя бы одним стрелком – необходимо воспользоваться формулой: Р(А+В)=Р(А)+ Р(В)–Р(АžВ). События А и В независимые, поэтому Р(А× В) = Р(А) × P(В).

 Итак, Р(А+В) = Р(А) + Р(В) - Р(А) × P(В).

Р(А+В)= 0,8 + 0,7 – 0,8×0,7 = 0,94.

Предыдущая | Главная | Глава 5 | Следующая