5.7. Алгебра событий

 

Ранее мы научились подсчитывать вероятности одного события, используя различные определения: классическое, геометрическое, статистическое (в зависимости от ситуации). Теперь рассмотрим более сложное событие, состоящее из нескольких, для простоты – двух событий. При этом эти «простые» события могут быть соединены друг с другом либо союзом «или», либо союзом «и». Т.е. в первом случае мы рассматриваем наступление или одного, или другого события, а во втором и одного, и другого вместе.

Определение. Суммой двух событий А и В называется событие, состоящее в наступлении по крайней мере одного из событий  А или В.

Пример 5.18. Пусть два стрелка одновременно стреляют по одной и той же мишени. Введем следующие обозначения. Событие А — попадание в мишень первым стрелком, событие В — попадание в мишень вторым стрелком. Тогда суммой событий А и В будет событие, состоящее в попадании в мишень по крайней мере одним стрелком. Оно заключается в том, что в мишень попадет либо первый стрелок (при промахе второго), либо второй (при промахе первого), либо оба стрелка. Таким образом, мишень будет поражена по крайней мере одной пулей.

Определение. Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий.

Например, если в предыдущем примере стрелков будет трое и мы обозначим попадания в мишень каждым из них через события A, B и C, то событие А+В+С будет по-прежнему состоять в попадании в мишень по крайней мере одним стрелком. При реализации  А+В+С мишень может быть поражена либо одной пулей (попадет какой-то один стрелок), либо двумя (попадут двое), либо тремя пулями (попадут все стрелки).

Определение. Произведением двух событий А и В (АžВ) называется со­бытие, состоящее в  одновременном наступлении и события А, и события В в одном и том же испытании, т.е. в совместном наступлении событий А и В.

В рассмотренном выше примере с двумя стрелками событие Аž В будет состоять в попадании в мишень обоих стрелков: и первым, и вторым. Мишень в этом случае будет поражена двумя пулями.

Определение. Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном наступлении всех этих событий.

Пример 5.19. Испытание состоит в бросании двух монет. Введены следующие обозначения событий:

А – появление герба на первой монете;

В – появление «решки» на первой монете;

С – появление герба на второй монете;

D – появление «решки» на второй монете.

Определить в чем  состоят события: а) А+С, б) В+D, в) АžС, г) ВžD.

Какими являются события А+В, АžВ?

         Решение.

а) Событие А+С по определению суммы двух событий состоит в наступлении хотя бы одного из них, т.е. в появлении хотя бы одного герба (либо на первой, либо на второй монете, либо на двух сразу) при бросании двух монет.

б) Аналогично событие В+D состоит в появлении «решки» хотя бы на одной монете.

в) По определению произведения двух событий событие АžС состоит в совместном наступлении этих событий в испытании,  т.е. при реализации АžС на обеих монетах выпадет герб.

г) Событие ВžD состоит в выпадении «решки» на обеих монетах.

Событие А+В состоит в выпадении либо герба, либо «решки» на первой монете. Третьего варианта выпадения монеты нет – герб и «решка» образуют полную группу событий при бросании одной монеты (случаи, когда монета упадет на ребро или вовсе зависнет в воздухе, не учитываются). Поэтому либо герб, либо «решка» на первой монете обязательно выпадет и, следовательно, событие А+В будет достоверным.

         Одновременно и герб, и «решка» на одной монете при одном подбрасывании выпасть не могут, их появления являются несовместными событиями.  Значит событие АžВ – невозможное событие.

         Из этого примера можно сформулировать два правила.

1.    Сумма событий, составляющих полную группу, является достоверным событием.

2.    Произведение несовместных событий является невозможным событием.

 

Операции сложения и умножения событий обладают следующими свойствами:

1. A+B=B+A                      Аž В=Bž A                      – законы коммутативности;

2. A+(B+С)=(A+B)+C     Až (Bž С)=(Až B)ž C                 – законы ассоциативности;

3. Аž (B+C)=AžB+Až C     A+Bž C=(A+B)ž (A+C)          – законы дистрибутивности;

4. А+А=А                  А× А=А;

5. А+=D                          A×=N;

6. А+N=A                   A× D=A;

где N – невозможное событие, D – достоверное событие.

Теперь необходимо рассмотреть вопрос о подсчете вероятностей суммы и произведения событий.

Предыдущая | Главная | Глава 5 | Следующая