1.1. Предмет математики. Аксиоматический метод

 

          В настоящее время трудно указать область человеческой жизнедеятельности, где бы в той или иной мере не применялась математика. Она проникла во все технические и естественные науки: физику, химию, астрономию, геологию и т.д. Без нее не обходится торговля и живопись, военное дело и спорт, медицинская диагностика и археология, теория стихосложения и юриспруденция. Математика ежедневно применяется в повседневной жизни людей. Во всех отраслях современного производства использование математики является неизбежным и необходимым. Как отмечал академик В.А. Стеклов, все чудеса современной техники, которым люди не перестают удивляться, — созданы при помощи математики. Возрастание роли математики в современной науке и технике  обусловлено появлением и широким внедрением компьютеров. Компьютеризация и информатизация всех сфер деятельности общества стали причиной дальнейшего возрастания значения математики. Это привело к «математизации» целого ряда отраслей знания, в которых ранее математические методы практически не использовались. Речь идет, прежде всего, о некоторых отраслях биологии, о педагогике и психологии, о лингвистике и теории искусства. Процесс математизации не только естественных и технических, но и общественных наук является не просто тенденцией, а закономерностью развития современной науки и техники, объективной необходимостью.

          Математика является одним из основных предметов системы школьного обучения. Однако далеко не все выпускники среднего общеобразовательного учреждения могут правильно объяснить, что изучает математика, определить предмет ее исследования. Оказывается, что даже ученые-математики не дают на этот счет краткие и удовлетворительные ответы.

          Ученик начальной школы, изучающий арифметику, скажет, что математика изучает правила счета предметов и действия над числами. И он, по-своему, будет прав, поскольку  данный ответ соответствует его «историческому» опыту. Заметим, что длительное время и человечество в целом разделяло мнение современного школьника. На этапе средней школы это определение расширяется изучением функций, геометрических и алгебраических объектов. Учащиеся старших классов добавят к предмету изучения математики дифференциальное и интегральное исчисления. Студенты, окончившие технические институты или естественные факультеты университетов, включат в состав математики такие разделы, как математический анализ, аналитическую геометрию и высшую алгебру, теорию вероятностей и математическую статистику, дифференциальные и интегральные уравнения. Но и этим не исчерпывается содержание современной математики. Современная (абстрактная) алгебра, теория множеств, математическая логика, топология, теория случайных процессов, исследование операций и многое другое остались даже не упомянуты.

          Однако в этих определениях идет попытка перечисления математических разделов, а не обобщение объекта исследования. Такое определение искали многие крупные ученые-математики, философы, педагоги. Вплоть до XIX века подавляющее большинство из них представляли математику как науку о величинах. Рене Декарт мечтал о создании всеобщей математики — науки о мере и порядке, характерной особенностью которой является не предмет исследования, а метод, которым она получает свои результаты.

           Само слово «математика» произошло от греческого maqhma («матема»), что означает  «познание», «наука», «учение путем размышления». Таким образом, категорически отбрасывалось получение знаний опытным путем.

          Одно из наиболее известных определений было дано Ф.Энгельсом при его исследовании философских аспектов естествознания. В работе «Анти-Дюринг» есть такие высказывания: «Математика — это наука о величинах, она исходит из понятия величины…», «Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть, весьма реальный материал». Последнее утверждение достаточно долго считалось наиболее полным определением математики и предмета ее исследований, поскольку не перечисляло ветви математической науки, а представляло ее общую характеристику и указывало на истоки происхождения ее понятий.

          Однако со времени Ф.Энгельса в математике произошли коренные изменения. Математические методы стали широко использоваться в естественных, технических, социальных науках. Появился ряд новых областей математического знания. Сами математические дисциплины стали наиболее абстрактными.

Абстракция означает отвлечение пространственных форм и количественных отношений действительного мира от их конкретного, материального содержания. Как вытекает из рассмотренного определения, метод абстракции является одним из наиболее важных в математике. За время существования математической науки абстракция прошла ряд ступеней своего развития.

          Первая ступень принадлежит ко времени зарождения математической науки. На этой ступени абстракции зародилось первое основное понятие, с которым работает математика, - понятие числа. Для того, чтобы перечислить какую-нибудь совокупность предметов, необходимо отождествить эти предметы друг с другом, т. е. отвлечься от бесконечного разнообразия индивидуальных качеств, которыми обладает каждый из этих предметов. (Чтобы сказать: «передо мной три коровы», надо отвлечься от всех индивидуальных свойств каждой из коров, создать родовое понятие «корова». Каждый отдельный представитель рода «корова» играет при счете роль «единицы»).

Так возникает сначала понятие порядкового числа – первый, второй, третий и т. д., а затем понятие количественного числа. Таким образом, первая ступень абстракции приводит к появлению натурального ряда (целых положительных чисел).

          Дальнейший шаг, завершающий первую ступень абстракции, - это создание символов для записи чисел – цифр. Над числами производятся простейшие операции – сложение, вычитание, умножение и деление. Это приводит в дальнейшем, в свою очередь, во - первых, к тому, что люди убеждаются, что натуральный ряд чисел неограничен, что в нем нет последнего числа, во – вторых, к необходимости расширения понятия числа, создание новых чисел, как – то: нуль, отрицательные числа.

          Нечто аналогичное имело место в геометрии. Понятие фигуры – геометрического тела, а затем поверхности, линии и точки возникли путем абстрагирования от конкретных материальных тел в результате манипуляций над ними, носящих производственный характер.

          Вторая ступень абстракции состоит в отвлечении от конкретного количественного значения чисел, вместо конкретных чисел рассматриваются переменные. Ранее можно было проверить следующие равенства 1+2=2+1, 3+4=4+3, 7+11=11+7 и т.д. Теперь мы отвлекаемся от конкретных значений 1 и 2, 3 и 4, 7 и 11 и выводим следующее правило: от перемены мест слагаемых сумма не меняется. Это правило мы можем проверять на тысячах, миллионах примеров. Но перебрать все множество чисел нам никогда не удастся. Поэтому для перехода от эмпирически установленного правила к общему закону необходимо встать на новую ступень абстракции. Вместо конкретных чисел мы рассматриваем любые числа, обозначая их буквенными символами a, b, c и т.д. И закон переместительности сложения будет выглядеть так a+b=b+a.

           На второй ступени абстракции осуществляется переход от арифметики к алгебре. Алгебра оперирует буквенными символами, полученные результаты остаются верными для любых чисел. Это означает, что число может менять свое значение, быть переменным. Таким образом, в алгебру уже вносится элемент изменения, который выражается в явном виде в курсе математического анализа.

          Алгебра завоевала свое господствующее положение не сразу. Это произошло после того, как в 1637 г. Рене Декарт написал свой известный труд «Геометрия», использовав алгебраические методы для решения геометрических задач.

          На второй ступени абстракции математика находилась примерно до конца XIX века. В XX веке перед математикой возникли новые задачи, справиться с которыми без кардинального изменения своего метода было невозможно.

          Теперь математики отвлеклись не только от числового содержания переменных a и b, но и от содержания операций, связывающих эти величины. Они стали рассматривать равенства, подобные a+b=b+a, отстраняясь от того, что a и b это количественные величины, и также от того, что перед нами именно сложение. Это равенство трактуется следующим образом: имеются два объекта a и b, над которыми произведена некоторая операция, причем она обладает переместительным свойством, т.е. результат останется прежним, если объекты поменять местами. Задача математики будет тогда состоять в том, чтобы, во-первых, изучить операции, обладающие подобными свойствами, а, во-вторых, установить классы объектов, удовлетворяющие таким операциям. Значит, математика переходит к новой, третьей ступени абстракции. Под a и b мы понимаем объекты гораздо большей общности, неподдающиеся простым арифметическим операциям.

          В качестве примеров можно рассмотреть сложение векторов, объединение множеств, конъюнкцию высказываний, сумму событий. Три последних операции будут подробно изучены в главах 3, 4, 5 данного учебного пособия.

          Сложение векторов изучается в курсе геометрии 8 класса средней школы. Суммой a+b двух векторов a и b называется вектор, идущий из начала вектора a в конец вектора b при условии, что вектор b приложен к концу вектора a. Это правило сложения называют правилом треугольника, так как слагаемые векторы a и b (если они не лежат на одной прямой) и их сумма a+b образуют треугольник. На рис.1.1 изображены вектора a и b, и их суммы a+b и b+a. Очевидно, что вектора a+b и b+a равны.

Рис. 1.1. Сложение векторов

 

           Итак, современная математика характеризуется переходом на высшую (на данном этапе изучения) ступень абстракции. Этот уровень абстракции состоит в том, что мы абстрагируемся от качеств отдельных объектов, от конкретных количественных величин и от количественного содержания самих математических операций. Именно современная абстрактная математика, изучающая такие понятия, как множество, группа, поле, абстрактное пространство, и т.д., может разрешить многие сложнейшие задачи естествознания и техники. Исследование пространственных форм действительного мира стало частным случаем изучения абстрактных математических форм вообще. Таким путем были открыты новые закономерности, которые на прежней ступени абстракции математика не могла не только решить, но и сформулировать. Естественные науки, и прежде всего физика, ставят перед математикой все более сложные задачи и проблемы, что постоянно приводит к развитию и обогащению математики.

           Свойство абстрактности, отдаление от материальной действительности мира характерно не только для математики в целом, но и для всех ее составляющих частей. Из всех наук математика является самой разветвленной из наук, каждая ветвь при этом имеет тенденцию ко все большему разветвлению и разрастанию. Эту мысль высказывает «коллективный математик», известный под псевдонимом Никола Бурбаки: «Но можно спросить себя, является ли это обширное разрастание развитием крепко сложенного организма, который с каждым днем приобретает все больше и больше согласованности и единства между своими вновь возникающими частями, или, напротив, оно является только внешним признаком тенденции к идущему все дальше и дальше распаду, обусловленному самой природой математики; не находится ли эта последняя на пути превращения в Вавилонскую башню, в скопление автономных дисциплин, изолированных друг от друга как по своим методам, так и по своим целям и даже по языку? Одним словом, существует в настоящее время одна математика или несколько математик?».

          «Дать в настоящее время общее представление о математической науке, — говорит Н.Бурбаки, — значит заняться таким делом, которое, как кажется, с самого начала наталкивается на почти непреодолимые трудности благодаря обширности и разнообразию рассматриваемого материала».

           По мнению Н.Бурбаки, объединяющим началом для всех разделов современной математики является аксиоматический метод, который может быть использован для обоснования существа математики. Бурбаки считает, что в результате аксиоматических исследований XIX – XX вв. была создана единая концепция природы математических объектов. Эти объекты первоначально представляли идеализированные абстракции чувственного опыта. Потом все математические понятия были сведены к понятию числа, затем к понятию множества. В современной математике единственным математическим объектом становятся математические структуры.

           Таким образом, «в своей аксиома­тической форме математика представляется скоплением абстрактных форм — математических структур, и оказывается (хотя по существу и неизвестно почему), что некоторые аспекты экспериментальной действи­тельности как будто в результате предопределения укладываются в неко­торые из этих форм». Бурбаки выделяют три основные математические структуры: алгебраические структуры, структуры порядка, топологические структуры. Кроме основных трех типов структур (порождающих), в математике приходится рассматривать сложные структуры, где порождающие струк­туры органически связываются с помощью объединяющей системы ак­сиом. Например, множество действительных чисел является сложной структурой, в которую одновременно входят три основные порождаю­щие структуры.

           Общей чертой различных понятий, объединенных родовым назва­нием "математическая структура", является то, что они применимы к множеству элементов, природа которых не определена. Построить ак­сиоматическую теорию структуры — это значит вывести логические следствия из аксиом структуры, отказавшись от каких-либо других предложений относительно рассматриваемых элементов, от всяких гипотез относительно их «природы».

           Способ построения научной теории, при котором в её основу кладутся некоторые исходные положения – аксиомы, из которых все остальные утверждения этой теории выводятся логическим путём, посредством доказательств, называется аксиоматическим методом. Его сущность состоит в следующем.

           1) Выделяются основные понятия теории.

           Известно, что одно понятие должно разъясняться с помощью других, которые, в свою очередь, тоже определяются с помощью каких-то более простых понятий. Таким образом, мы приходим к элементарным понятиям, которые нельзя определить через другие. Эти понятия и называются основными. Например, в евклидовой геометрии к основным понятиям можно отнести точку, прямую и др.

          2) Выбирается некоторое множество предложений теории, принимаемых без доказательства (аксиом).

          Когда мы доказываем утверждение, теорему, то опираемся на предпосылки, которые считаются уже доказанными. Но эти  предпосылки тоже доказывались, их нужно было обосновать. В конце концов, мы приходим к недоказуемым утверждениям и принимаем их без доказательства. Эти утверждения называются аксиомами. Набор аксиом должен быть таким, чтобы, опираясь на него, можно было доказать дальнейшие утверждения.

          Так, например, «Начала» Евклида начинаются  с  изложения 23 определений  и 10 аксиом. Первые пять аксиом - "общие  понятия", остальные  называются "постулатами". Первые два постулата определяют действия с помощью идеальной линейки, третий - с помощью идеального циркуля. Четвёртый, «все прямые углы равны между собой», является излишним, так как его можно вывести из остальных аксиом. Последний, пятый постулат гласил: «Если прямая падает на две прямые и образует внутренние  односторонние углы в сумме меньше двух прямых, то, при  неограниченном продолжении этих двух прямых, они пересекутся с той стороны, где углы меньше двух прямых».

          3) Далее фиксируются правила определения и правила вывода данной теории, позволяющие вводить новые термины (понятия) в теорию и логически выводить одни предложения из других.

          4) Все остальные предложения данной теории (теоремы) выводятся из аксиом на основе рассмотренных выше правил вывода.

          В этом и заключается логическое строение теории. Система, в которой каждое предложение выводится из конечного числа предложений, принятых без доказательства, называется дедуктивной.

          Аксиоматический метод впервые появился в "Началах" Евклида (около 300 до нашей эры). В дальнейшем делались попытки аксиоматического изложения различных научных разделов (Спиноза, Ньютон и др.).

          Начиная со второй половины XIX в., в связи с интенсивной разработкой проблем обоснования математики и математической логики, аксиоматическую теорию стали рассматривать как формальную (а с 20-30-х гг. XX в. — как формализованную) систему, устанавливающую соотношения между ее элементами и описывающую любые множества объектов, которые ей удовлетворяют. В конкретной содержательной аксиоматике, подобной аксиоматике Евклида, исходные понятия и аксиомы в качестве интерпретации имеют единственную систему хотя и идеализированных, но конкретных объек­тов. В противоположность этому абстрактная аксиоматика допускает бесчисленное множество интерпретаций.

          При этом основное внимание стали обращать на установление непротиворечивости системы, ее полноты, независимости системы аксиом и т. д. В начале XIX века Н. И. Лобачевский, Я. Бойяи и К. Ф. Гаусс построили новую геометрию, в которой выполнялись все аксиомы геометрии Евклида, за исключением пятого постулата. Он был заменён противоположным утверждением: «В плоскости через точку вне прямой можно провести более одной прямой, не пересекающей данную». Эта геометрия была столь же непротиворечивой, как и геометрия Евклида. Модель планиметрии Лобачевского на евклидовой плоскости была построена французским математиком Анри Пуанкаре в 1882 г.

          В нашем учебном пособии мы подробно рассмотрим еще несколько математических теорий, которые можно построить аксиоматически: теорию множеств, алгебру высказываний, теорию вероятностей.

          Анализ формализованных аксиоматических систем привел к установлению их принципиальных ограниченностей, главной из которых является доказанная Гёделем невозможность полной аксиоматизации достаточно развитых научных теорий (например, арифметики натуральных чисел), откуда следует невозможность полной формализации научного знания. Аксиоматизация является лишь одним из методов построения научного знания, но ее использование в качестве средства научного открытия весьма ограниченно. Аксиоматизация осуществляется обычно после того, как содержательно теория уже в достаточной мере построена, и служит целям более точного ее представления, в частности строгого выведения всех следствий из принятых посылок. В последнее  время большое внимание уделяется аксиоматизации не только математических дисциплин, но и определенных разделов физики, биологии, психологии, экономики, лингвистики и других, включая теории структуры и динамики научного знания.

Предыдущая | Главная | Глава 1 | Следующая