2.1. Понятие множества

 

          Из названия этого параграфа следует, что самое главное, что нам необходимо сделать – дать ответ на вопрос: «Что такое множество». Но оказывается, что понятие «множество» нельзя строго определить.

          Для того чтобы определить какое-либо понятие, нужно, прежде всего, указать, частным случаем какого более общего понятия оно является, расшифровать его через более простые. Но эти более простые понятия сами нуждаются в определении через еще более простые и еще более общие, для которых в свою очередь мы должны найти еще более простые и т.д. Таким образом, в конце концов, мы должны будем прийти к некоторым простейшим, первоначальным, наиобщим понятиям, упростить смысл которых, а значит и точно определить, мы не в состоянии. И все, что можно сделать для их «определения» — разъяснить эти первоначальные понятия на ряде примеров, договориться, что под ними мы будем понимать.

          Понятие «множества» в математике и есть одно из самых простых, первоначальных и общих.  Разумеется, можно сказать, что множество – это совокупность, система, класс, ансамбль, собрание, коллекция и т.д. Однако все это было бы не математическим определением, а, скорее всего, затушевыванием смысла, т.к. нам необходимо было бы сказать, что такое совокупность, система или класс. Поэтому вместо точного определения множества мы обратимся к примерам, поясняющим его смысл.

          Часто приходится говорить о нескольких вещах, объединенных некоторым общим признаком. Так, можно говорить о множестве предметов, находящихся на столе, множестве студентов, присутствующих в данный момент в аудитории, множестве звезд, наблюдаемых на небе, множестве всех точек, равноудаленных от данной, множестве всех клеток человеческого организма и т.д. Человеческому мышлению свойственно трактовать то или иное собрание предметов, родственных по какому-либо признаку, как самостоятельный объект. Совокупность кофейника, молочника, сахарницы, шести чашек и блюдец мы называем сервизом. Буквы А, Б, В, Г, Д, и т.д. объединяем в алфавит. Не случайно каждую из этих совокупностей мы называем существительным в единственном числе: сервиз, алфавит - идея объединения проглядывает даже в такой мелочи.

         Основное и самое существенное в понятии множества – это акт объединения различных объектов в одно целое.

         Основатель теории множеств немецкий математик и философ Георг Кантор писал: «Под многообразием или множеством я понимаю вообще всякое многое, которое можно мыслить как единое, т.е. всякую совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое с помощью некоторого закона». Перефразируя Кантора можно сказать, что множество — любая совокупность определенных и различимых между собой объектов, рассматриваемых как единое целое. Природа таких объектов может быть совершенно любой. Это могут быть числа, функции, книги, молекулы, высказывания, сами множества. Соединенные Штаты Америки – множество из 50 элементов – штатов, каждый из которых, в свою очередь, есть множество округов. Объекты множества могут даже и не существовать реально. В богословских трактатах изучались множество ангелов, помещающихся на острие иглы, множество злых духов и т.д.

          Трактовка слова «множество» в обыденном языке отличается от математической, ибо подразумевает некоторое изобилие. В математике этот термин такого оттенка совсем не имеет. Множество может состоять из двух элементов (например, множество естественных спутников Марса – Фобос и Деймос), может состоять из одного элемента (множество естественных спутников Земли – Луна), может вообще не иметь элементов (об этом речь пойдет далее).

          Существенными в понятии множества являются следующие признаки:

          Объекты, входящие во множество, определенные. Это означает, что для каждого объекта можно однозначно сказать, принадлежит ли он данному множеству или нет.

         Объекты, входящие во множество, различимы между собой. Следовательно, во множестве не может быть двух или более одинаковых объектов.

Все объекты, входящие во множество, мыслятся как единое целое. Этим подчеркивается, что все объекты рассматриваются в совокупности, а от свойств отдельных объектов абстрагируются.

          Слова «совокупность определенных элементов, которая может быть связана в одно целое с помощью некоторого закона» позволяют сказать, что множество определяется либо своими элементами, либо законом (характеристическим признаком), согласно которому происходит объединение различных объектов в одно целое. Поэтому можно сказать, что основным понятием теории множеств будет являться отношение принадлежности отдельных объектов к совокупности.

          Множества обычно обозначают прописными курсивными буквами латинского алфавита: A, B, C и т.д. Для наиболее важных числовых множеств приняты постоянные обозначения. Множество натуральных чисел стандартно обозначается буквой N, множество целых чисел – С, множество  действительных чисел – буквой R. Эти множества широко используются в школьном курсе математики.

          Объекты, составляющие данное множество, называют его элементами и обозначают строчными курсивными буквами латинского алфавита: а, x, y. Для того, чтобы указать, что x – элемент множества А, записывают   xÎ A (читается: «x принадлежит А»). Например, если А – множество дней недели, а x – понедельник, то xÎ A. Чтобы указать, что x не является элементом множества А, записывают  xÏА («x не принадлежит А»). В нашем примере, если x – ноябрь, то xÏА.

          Из канторовского понятия множества следует, что задать множество можно двумя способами. Первый способ – явный или перечислительный – состоит в простом перечислении всех элементов, в совокупности составляющих данное множество. Элементы множества заключаются в фигурные скобки { },  которые показывают, что элементы объединены в одно целое, в совокупность.. Если А – множество дней недели, то записывают А={понедельник, вторник, среда, четверг, пятница, суббота, воскресенье}, множество арифметических действий B задают так: B={сложение, вычитание, умножение, деление}, множество корней квадратного уравнения  X: X={2, 3}.

          Согласно определению, во множестве не бывает одинаковых элементов. Поэтому запись {2, 2, 3} считается некорректной. Ее необходимо заменить на следующую {2, 3}. Порядок следования элементов во множестве роли не играет. Поскольку {2, 3, 4} и {4, 3, 2} состоят из одних и тех же элементов, они задают одно и то же множество.

          В тех случаях, когда множество содержит много элементов, такой способ оказывается неудобным. Кроме того, при таком задании множества остается замаскированным сам принцип его образования.

          Второй способ задания состоит в том, что мы указываем условие, по которому выбираем эти и только эти элементы в множество, признак, характеризующий все элементы множества. Такой способ называется описательным. В этом случае для задания множества X c элементами x применяется следующая запись: X={x | признак}. Например, X={x | }, А={a  |  a – день недели}, В={b | b – арифметическое действие}. Описательный способ задания множества напрямую связан с алгеброй высказываний, так как записываемый признак и есть высказывание, касающееся элементов рассматриваемого множества.

          Задание множества описательным способом иногда приводит к некоторым осложнениям. Может получиться, что два различных способа задания задают одно и тоже множество. Большие трудности при задании множеств возникают из-за недостаточной точности описания характеризующего признака вследствие неоднозначности человеческой речи. Например, задавая множество всех деревьев на земном шаре, нужно сказать, идет ли речь о деревьях, которые существовали и будут существовать на Земле или о деревьях, существующих с некоторой определенной даты. Кроме того, существует ряд промежуточных форм между деревьями и кустарниками и нужно четко определить, какие из них относятся к рассматриваемому множеству.

          Даже множество планет Солнечной системы определено не вполне однозначно. Наряду с большими планетами существуют также около 1600 малых (астероидов), поперечник которых доходит всего до 1км. По мере улучшения методов наблюдений открываются все более и более мелкие. И возникает вопрос, где заканчиваются планеты, а начинаются метеориты.

          Существуют случаи, когда задание множества обладает внутренними противоречиями (парадокс брадобрея и др.). Изучение вопроса, при каких случаях это может произойти, привело к глубоким исследованиям в области логики, полностью изменившим эту науку. Неразумно рассматривать множество идей, множество капель воды в стакане и т. п. Так как само понятие множества не является достаточно четким, нельзя рассматривать также и множество всех множеств (это приводит к противоречию).

В дальнейшем мы будем рассматривать только такие множества, которые определены точно, без противоречий, состав которых не вызывает сомнений.

Предыдущая | Главная | Глава 2 | Следующая