4.7. Тавтологии

 

Рассмотрим следующую логическую формулу АÙ(А®В)®В. Построим ее таблицу истинности.

 

Оказывается, при любых значениях входящих в эту формулу логических переменных она принимает значение «истина», т.е. 1. Такие логические формулы и соответствующие им высказывания называются тождественно истинными или тавтологиями.

        

Сложное высказывание, истинное при любых значениях входящих в него простых, называется тождественно истинным или тавтологией.

         Факт, что высказывание А является тавтологией, обозначается так ½=  А.

 

Сложное высказывание называется тождественно ложным, если оно принимает значение «ложь» при любых значениях входящих в него простых высказываний. Очевидно, что отрицание тождественно истинного высказывания будет тождественно ложным. То есть, если ½=  А, то  - тождественно ложно.

         Тождественно истинные формулы имеют большое значение в математической логике, поэтому их также называют законами логики. Существует бесконечно много тождественно истинных формул. Рассмотрим наиболее важные из них, наиболее часто использующиеся в математических доказательствах.

 

1.    Закон силлогизма

½=   

Закон силлогизма можно «прочесть» так. Если из высказывания А следует В, а из высказывания В следует С, то можно заключить, что из А следует С. Этот закон позволяет при доказательствах некоторого утверждения пользоваться цепочками заключений.

«Если будет хорошая погода, мы пойдем на пляж. Если мы пойдем на пляж, то обязательно искупаемся.» Следовательно, согласно закону силлогизма можно сделать вывод: «Если будет хорошая погода, мы искупаемся».

 

2.    Modus ponens  (лат.)

½=   

Если А – истинно и из А следует В, то В также будет истинно.

Этот закон очень часто применяется при математических доказательствах. Например, треугольники АВС и А₁В₁С₁ равны. Если треугольники равны, то соответствующие их стороны равны друг другу. Значит, согласно modus ponens, стороны АВ и А₁В₁, ВС и В₁С₁, АС и А₁С₁ равны.

 

3.    Закон контрапозиции

½=   

Следование из высказывания А высказывания В равносильно тому, что из не В следует не А.

Так, высказывание «Если погода будет хорошей, мы пойдем на пляж» равносильно (эквивалентно) высказыванию «Из того, что мы не ходили на пляж следует, что погода была плохой». (Такое соответствие закону контрапозиции не совсем строгое, так как мы изменили времена глаголов во втором высказывании).

 

4.    Закон исключения третьего 

½=   

Для любого высказывания А или само высказывание А истинно, или истинно его отрицание  (не А). В терминах самого высказывания этот закон можно сформулировать еще и таким образом: любое высказывание либо истинно, либо ложно.

 

5.    Закон противоречия 

½=   

Закон противоречия отражает следующее утверждение: «Для любого высказывания А неверно, что одновременно истинны и само высказывание А, и его отрицание (не А)».

Очевидно, что если , то высказывание, стоящее под общим отрицанием, будет всегда ложно .  То есть, не могут быть одновременно истинны и высказывание А, и его отрицание (не А).

 

6.    Закон двойного отрицания

½=   « А

Отрицание от отрицания любого высказывания эквивалентно (равносильно) самому высказыванию.

Здесь мы привели лишь некоторые, наиболее часто используемые законы логики. Доказать любой закон достаточно просто. Для этого необходимо построить таблицу истинности приведенного высказывания и убедиться, что при любых исходных данных оно истинно. Так, таблица истинности высказывания закон силлогизма будет такова:

 

 

Сконструированное таким образом сложное высказывание будет истинно при любых значениях входящих в него простых и, следовательно, является тавтологией.

 

Равносильность двух логических формул, рассмотренная в предыдущем параграфе, сводится к тавтологии некоторой формулы. Легко доказать следующее утверждение:

Логические формулы А и В равносильны: АºВ тогда и только тогда, когда формула А«В является тавтологией.

Действительно, если А и В равносильны, то по определению они принимают одинаковые значения: либо 1, либо 0. Значение эквивалентности А«В при одинаковых значениях А и В всегда будет равно 1. Т.е. А«В – тавтология.

И, наоборот, эквивалентность А«В является тавтологией, т.е. А«Вº1 только тогда, когда А и В принимают одинаковые значения. Значит АºВ.

Предыдущая | Главная | Глава 4 | Следующая