4.8. Доказательства логических заключений

 

Законы логики оказываются весьма полезными при выводе одного утверждения из других заданных и доказательстве его истинности или ложности. Применение этих законов увеличивает возможность проверки правильности предложенных рассуждений. Математическая логика дает методы анализа рассуждений путем фиксации их вида (теория доказательств). Поэтому, как пишет С.К. Клини [3], «к формальной логике можно прибегать для установления справедливости нашего рассуждения или с тем, чтобы найти в нем ошибки, если есть риск запутаться».          

Высказывание В называют логическим следствием высказываний , если во всех случаях, когда все высказывания  одновременно истинны высказывание В будет также истинно. При этом высказывания называются посылками логического следствия, а высказывание В - заключением.

Факт того, что В является логическим следствием высказываний  записывается так: ½=  В. Эта запись читается: «Пусть , тогда В» или «Из следует В».

Заметим, что большинство теорем в математике имеют структуру логического следствия. Например, «если три стороны одного треугольника равны соответствующим сторонам другого треугольника, то эти треугольники равны». Здесь утверждение о равенстве соответствующих сторон треугольников является посылкой, а утверждение «треугольники равны» - логическим следствием.

Одной из главных задач логики и является проверка того, что заключение действительно представляет собой логическое следствие посылок. Самый прямолинейный способ такого доказательства (он может оказаться достаточно трудоемким) состоит в построении таблицы истинности посылок и заключения. При этом  если во всех строчках, в которых все посылки истинны, заключение будет также истинно, то оно действительно является логическим следствием данных утверждений.

 

Пример 4.3. Доказать , ,  ½=  .

Решение. Для этого построим таблицы истинности высказываний , ,  и .

А	В	С	B Ù C
1	1	1	1	1	0	0	0
1	1	0	0	0	0	1	0
1	0	1	0	0	1	0	0
1	0	0	0	0	1	1	0
0	1	1	1	1	0	0	1
0	1	0	0	1	0	1	1
0	0	1	0	1	1	0	1
0	0	0	0	1	1	1	1

Все высказывания , ,   одновременно истинны только в одной, последней строке. При этом высказывание  также истинно. Значит из логических посылок , ,   следует следствие .

 

Оказывается, для того чтобы высказывание В являлось логическим следствием высказываний  необходимо и достаточно, чтобы высказывание ® В было тавтологией:

½= ® В.

        

Рассмотрим высказывание ()ÙÙ® (предыдущий пример).

А	В	С	BÙC				()ÙÙ		()ÙÙ®
1	1	1	1	1	0	0	0	0	1
1	1	0	0	0	0	1	0	0	1
1	0	1	0	0	1	0	0	0	1
1	0	0	0	0	1	1	0	0	1
0	1	1	1	1	0	0	0	1	1
0	1	0	0	1	0	1	0	1	1
0	0	1	0	1	1	0	0	1	1
0	0	0	0	1	1	1	1	1	1

()ÙÙ® является тавтологией. Значит, , ,  ½=  .

 

Рассмотрим теперь доказательства логических заключений в некоторых ситуациях, которые могут сложиться в юридической практике.

Пример 4.4. При допросе свидетеля следователь получил следующие показания: «Если бы он ей не сказал, она ни за что не узнала бы. А не спроси она его, он бы и не сказал. Но она узнала». Из этих высказываний он сделал следующее логическое заключение: «Она его спросила». Верно ли оно?

Решение. Сделаем следующие обозначения высказываний: А – «он ей сказал», В – «она узнала», С – «она спросила». В этих обозначения логическая посылка «Если бы он ей не сказал, она ни за что не узнала бы» запишется так , посылка «Не спроси она его, он бы и не сказал» - .  Нам нужно показать следует ли из  , , В  заключение C. Как и ранее построим таблицу истинности всех высказываний.

 

1	1	1	0	0	0	1	1	1	1
1	1	0	0	0	1	1	0	1	0
1	0	1	0	1	0	1	1	0	1
1	0	0	0	1	1	1	0	0	0
0	1	1	1	0	0	0	1	1	1
0	1	0	1	0	1	0	1	1	0
0	0	1	1	1	0	1	1	0	1
0	0	0	1	1	1	1	1	0	0

 

Логические посылки , , В одновременно истинны лишь в первой строке таблицы. В этой строке высказывание С также истинно. Значит, оно является логическим следствием высказываний , , В. Таким образом, сделанное следователем заключение – верное.

Метод построения таблицы истинности посылок и заключения пригоден лишь при небольшом количестве исходных высказываний. Если логических посылок больше четырех – пяти, то этот метод становится весьма трудоемким. Иногда гораздо легче и быстрее решить задачу, используя изученные ранее законы логики. Покажем это на примере данной задачи.

Согласно закону контрапозиции ½= логические формулы  и  равносильны: º. Т.е. из  следует . Аналогично равносильны и высказывания  и : º. Значит из  следует . Но если из высказывания В следует А, и из А – С, то из В следует С  - закон силлогизма: ½= . По условию задачи В – истинно. Таким образом, высказывание С будет также истинным, согласно Modus ponens: ½=.

Пример 4.5. Проверить следующее рассуждение: «Если гражданин законопослушен, он не совершит преступления. Гражданин Иванов - не законопослушен. Значит, он совершит преступление».

Решение. Обозначим высказывание «гражданин законопослушен» через А, а высказывание «он совершит преступление» через В. Необходимо проверить, что из высказываний и  следует В, т.е., . Проверим данное рассуждение с помощью таблицы истинности.

Рассмотрим строки, в которых высказывания  и  одновременно истинны. Таких строк две: третья и четвертая. В третьей строке высказывание В также истинно, а вот в четвертой – ложно. Таким образом, не во всех случаях, когда высказывания  и   одновременно истинны высказывание В будет также истинно. Высказывание В называют не является логическим следствием высказываний , . Вывод: рассмотренное рассуждение неверно.

Действительно, согласно закону контрапозиции логические формулы  и  равносильны.  Т.е. импликация  будет истинной. При этом по условию задачи высказывание  также истинно. Однако это не означает истинности высказывания В, так как мы знаем, что импликация будет истинной, если первое высказывание – ложное, а второе – истинное.

Отвлекаясь от математической логики, можно заметить, что Иванов будет незаконопослушным, если переходит улицу на красный свет светофора. А это отнюдь не является преступлением.

Предыдущая | Главная | Глава 4 | Следующая