Упражнения и задачи

 

1.    Образуют ли полную группу следующие события:

а) испытание – бросание двух монет, события: появление двух гербов, двух «решек», одного герба и одной «решки»;

б) испытание – бросание игрального кубика; события – выпадение количества очков, меньше 4 и больше 4;

в) испытание – два выстрела по мишени; события – одно попадание, один промах, два попадания, два промаха?

2.    Равновозможны ли следующие события:

а) испытание – бросание монеты, события: появление герба и «решки»;

б) испытание – бросание двух монет, события: появление двух гербов, герба на первой монете  и «решки» на второй;

в) испытание – бросание игрального кубика; события – выпадение четного и нечетного количества очков;

г) испытание – выстрел по мишени; события –попадание, промах;

д) испытание – два выстрела по мишени; события – два попадания, два промаха?

3.    Являются ли совместными следующие события:

а) испытание – бросание монеты, события: появление герба и «решки»;

б) испытание – бросание двух монет, события: появление герба на первой монете  и «решки» на второй;

в) испытание – бросание игрального кубика; события – выпадение нечетного количества очков, количества очков большего 5;

г) испытание – выстрел по мишени; события – попадание, промах;

д) испытание – два выстрела по мишени; события – хотя бы одно попадание, хотя бы один промах?

4.    Приведите примеры:

а) событий, образующих полную группу, но не равновозможных;

б) равновозможных событий, которые не образуют полную группу;

в) элементарных событий;

г) двух совместных равновозможных событий.

5.    Преступник может проникнуть в квартиру либо через входную дверь, либо через окно. Число способов проникновения через дверь – 4, через окно – 3. Сколько всего существует способов проникновения в квартиру?

6.    Для запирания некоторых кейсов применяют цифровые кодовые замки, которые отпираются при наборе заданной комбинации цифр. Замок состоит из 3 дисков, на каждом из которых нанесены все цифры. Сколько времени необходимо злоумышленнику для перебора всех комбинаций замка, если на проверку одной комбинации он тратит 2 секунды?

7.    Пусть из города A в город B имеется 6 дорог, а из города B в город C – 4 дороги.

а) Сколько существует различных вариантов проезда из города A в город C через город В?

б) Сколько существует различных вариантов проезда из города A в город B и обратно?

в) Сколько существует различных вариантов проезда из города В в город С и обратно при  условии, что дороги туда и обратно будут разными?

8.    Имеется шесть различных конвертов без марок и три вида марок. Сколькими способами можно выбрать конверт и марку для отправления письма?

9.    Какое количество комбинаций содержит кодовый замок, состоящий из 5 дисков, на каждом из которых нанесены все буквы русского алфавита?

10.     Пятеро курсантов сдавали экзамен. Сколькими способами могут быть поставлены им оценки, если известно, что никто из них не получил неудовлетворительной отметки?

11.     Во взводе 25 курсантов. Сколько существует способов назначения командира взвода и его заместителя?

12.     Из отделения в 5 курсантов необходимо назначить двоих для патрулирования территории института. Сколькими различными способами можно сделать такой выбор?

13.     Сколько поединков по борьбе должны быть проведены между 7 спортсменами, если каждый из них должен встретиться с каждым?

14.     Сколько различных вариантов наряда, состоящего из 4 курсантов, можно составить из взвода численностью 20 курсантов, а) если каждый курсант в наряде отличается от другого своими обязанностями? б) если обязанностями курсантов в наряде одинаковы?

15.     Сколькими способами можно подать заявку для участия команды из 4 человек в лыжной эстафете, если имеется 9 спортсменов?

16.     Сколько можно получить различных красок, смешав три исходные, если есть пять банок с различными красками?

17.     В коробке находятся 5 белых, 7 черных и 9 синих шаров. Сколькими различными способами можно взять из коробки 3 шара одного цвета?

18.     В роте 3 офицера, 12 сержантов и 80 рядовых. Сколькими способами можно выбрать отряд, в который должны войти один офицер, 4 сержанта и 20 рядовых?

19.     Преступник знает, что шифр кодового замка состоит из четырех цифр: 2, 4, 5, 9, но не знает порядок их правильного набора. Какое максимальное количество комбинаций он должен перебрать, подбирая код, чтобы открыть замок?

20.     Проводя расследование уголовного дела, следователь проводит опрос свидетеля, который видел, но не запомнил точно гос. номер автомобиля. Свидетель утверждает, что серия состоит из одинаковых букв: трех «Е», а в номере две крайние цифры одинаковы. Сколько автомобилей должен проверить следователь?

21.     В коробке находятся 20 патронов, из которых 7 – от пистолета Макарова. Найти число различных способов взятия 5 патронов, из которых 3 подходят к пистолету Макарова.

22.     Сколько существует вариантов расстановки 4 лыжников в эстафетной гонке?

23.     Определить вероятность того, что случайно выбранное натуральное число будет кратно 5

24.     Следователь забыл последнюю цифру номера телефона и набирает её наугад. Найти вероятность того, что он дозвонится до нужного абонента.

25.     В барабане револьвера семь гнезд, в двух из которых залажены патроны. Барабан раскручивается и нажимается спусковой крючок. Найти вероятность того, что будет произведен выстрел.

26.     Из колоды в 36 карт берут наугад 6 карт. Какова вероятность того, что все карты старше десятки?

27.     Какова вероятность того, что номер случайно выбранной автомашины не содержит одинаковых цифр?

28.     В коробке находятся 6 новых и 2 израсходованные батарейки. Какова вероятность того, что две вынутые из коробки наудачу батарейки окажутся новыми?

29.     Бросаются две игральные кости. Найти вероятность того, что сумма выпавших очков равна 7.

30.     Бросаются две игральные кости. Какова вероятность выпадения шестерки хотя бы один раз? Какова вероятность того, что шестерка не появится ни разу?

31.     В коробке из 20 патронов 7 – от пистолета Макарова. Найти вероятность того, что среди 5 взятых наугад патронов 3 подходят к пистолету Макарова.

32.     Курсант знает 30 из 40 вопросов программы. Какова ве­роятность того, что он ответит: а) на три заданных вопроса; б) на 2 из 3 заданных вопросов?

33.     Из урны с 5 белыми и 7 черными шарами наугад берут 4 шара. Найти вероятности событий: а) взято 2 белых шара; б) взято белых шаров больше, чем черных.

34.     Из колоды берут наугад 6 карт. Какова вероятность взять 2 туза? Какова вероятность взять хотя бы один туз?

35.     Из колоды в 36 карт наугад берут 6 карт. Найти вероятности следующих событий: а) все карты имеют одну масть; б) все карты – крас­ные.

36.     В коробке находятся 5 белых, 7 черных и 9 синих шаров. Какова вероятность того, что взятые из коробки 3 шара одного цвета?

37.     Преступник знает, что шифр кодового замка состоит из четырех цифр: 2, 4, 5, 9, но не знает порядок их правильного набора. Какова вероятность, что он потратит на открытие замка не более 10 секунд, если на проверку одной комбинации уходит 2 секунды?

38.     К перекрестку, регулируемому светофором, подъезжает автомобиль. Время работы красного и желтого сигналов составляет 30 секунд, зеленого – 20 секунд. Найти вероятность того, что автомобиль проедет без остановки.

39.     Двое лиц договариваются о встрече на следующих условиях: каждый из них приходит к указанному месту независимо друг от друга в любой момент времени от двенадцати до часу и ждет другого в течение 10 минут, после чего уходит. Какова вероятность того, что встреча состоится?

40.     На плоскости изображены две окружности с одинаковым центром, радиусы которых 5 и 10 см. Найти вероятность того, что точка, поставленная случайным образом в большой круг, попадет в кольцо, образованное построенными окружностями.

41.     На отрезке ОА длины l наугад поставлена точка В. Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ и ВА имеет длину, большую l/3.

42.     В круге с радиусом 10 см наугад поставлена точка. Какова вероятность, что взятая точка окажется от центра круга на расстоянии, не большем 6 см?

43.     На диаметре круга радиуса R наугад берется точка. Через эту точку проводится хорда,  перпендикулярная построенному диаметру. Найти вероятность того, что длина хорды не превосходит R.

44.     Какова вероятность того, что из трех взятых наудачу отрезков длины не больше , можно построить треугольник?

45.     При стрельбе по мишени из пистолета Макарова было произведено 120 выстрелов, из которых число попаданий оказалось равным 75. Найти вероятность попадания в мишень.

46.     Из урны с 8 белыми и 6 черными шарами случайным образом  берут 4 шара. Найти вероятности событий:

а) все взятые шары – белые; 

б) взято 2 черных шара;

в) взято белых шаров больше, чем черных;

г) взято белых шаров меньше, чем черных.

47.     Что можно сказать о событиях А и В, если

а) АВ=В;

б) А+В=А?

48.      А, В – случайные события. Упростить выражения:

а) ;

б) ;

в) .

49.     Испытание состоит в бросании двух монет. Введены следующие обозначения событий: А – появление герба на первой монете; В – появление «решки» на первой монете; С – появление герб на второй монете; D – появление «решки» на первой монете. Определить в чем  состоят события: а) А+С, б) В+D, в) АžС, г) ВžD. Какими являются события А+В, АžВ?

50.     Два стрелка стреляют в одну и ту же цель, причем ве­роятность поражения цели первым стрелком 0,8, а вторым стрелком 0,7. Оба стрелка стреляют один раз независимо друг от друга. Какова вероятность, что цель будет поражена только одним из них?

51.     Какова вероятность того, что наудачу взятое натуральное число не делится: а) ни на два, ни на пять; б) на два или на три?

52.     Курсант знает 30 из 40 вопросов, вынесенных на зачет. Зачёт считается сданным, если курсант ответит не менее чем на четыре из пяти предложенных ему вопросов. Какова вероятность того, что: а) курсант сдаст зачёт; б) зачёт будет сдан, если известно, что на первые три вопроса курсант уже ответил?

53.     Два стрелка дважды стреляют по двум мишеням. Ве­роятность попадания в мишень у первого стрелка равна 0,5, а  у второго - 0,6. Найти вероятность поражения мишеней хотя бы один раз. Какова вероятность, что первый стрелок попадет в мишень оба раза, а второй не попадет вовсе?

54.     В ящике имеются 5 белых и 7 черных шаров. Не гля­дя вынимают один шар и, не опуская его обратно, вынимают еще один шар. Какова вероятность, что оба вынутых шара черные?

55.     Из урны, содержащей 7 белых и 6 черных шаров, последовательно без возвращения вынимают 3 шара. Какова вероятность вынуть все шары белого цвета? Каков будет результат, если  шары возвращать в урну?

56.     В первой урне 4 белых и 6 черных шаров, во второй 5 белых и 3 черных. Наугад из каждой урны берут по 2 шара. Найти вероятности событий: а) все шары белые; б) все шары одного цвета; в) два шара белые.

57.     Два следователя расследуют каждый по 3 уголовных дела, причем одно из них – общее. Вероятность раскрытия уголовного дела первым следователем – 0,9, а вторым – 0,8. Рассчитать вероятность того, что все уголовные дела будут раскрыты? Для простоты можно считать, что общее уголовное дело расследуется ими независимо друг от друга.

58.     Двое поочередно подбрасывают монету. Выигрывает тот, у кого раньше выпадет герб. Какова вероятность выигрыша для каждого из игроков?

59.     Следователь забыл последнюю цифру номера телефона и набирает её наугад. Определить вероятность того, что он дозвонится до нужного абонента не более чем за 15 секунд, если на каждую попытку он тратит 5 секунд.

60.     Три стрелка по очереди три раза стреляют по одной и той же мишени до первого попадания. Вероятность попадания каждым стрелком одинакова и равна 0,4. Выигрывает первый попавший в мишень. Какова вероятность а) выигрыша у каждого из стрелков? б) непопадания в мишень ни одним из стрелков?

61.     Студент знает не все экзаменационные билеты. В каком случае вероятность вытащить известный ему билет выше: когда он берет билет первым или последним?

62.     В коробку, содержащую два шара, кладут белый шар. Какова вероятность извлечь из коробки белый шар после этого, если все возможные предположения о начальном составе шаров в коробке равновозможны?

63.     В первой урне находятся 5 белых и 3 чёрных шара, во второй – 4 белых и 4 чёрных шара, а в третьей – 3 белых и 5 чёрных шара. Наугад выбирается одна из урн, из нее наудачу извлекается шар. Какова вероятность того, что он окажется чёрным?

64.     Батарея из трёх орудий произвела залп, причём два снаряда попали в цель. Найти вероятность того, что первое орудие дало попадание, если вероятности попадания в цель первым, вторым и третьим орудиями соответственно равны 0,4;  0,3;  0,5.

65.     По самолету стреляют из трех зенитно-ракетных комплексов. Вероятность попадания из первого из первого зенитно-ракетного комплекса  равна 0,6; из второго – 0,5; из третьего – 0,4. Для вывода самолета из строя достаточно трех выстрелов, при двух попаданиях самолет выходит из строя с вероятностью 0,6, при одном попадании – с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что самолет будет выведен из строя.

66.     На завод поступили двигатели от трех заводов. От первого завода поступило 100 двигателей, от второго – 60 и от третьего – 40 двигателей. Вероятность безотказной работы этих двигателей в течение гарантийного срока соответственно равны 0,9; 0,8; 0,7. Найти вероятность того, что установленный двигатель будет работать без дефектов в течение гарантийного срока? Какова вероятность того, что проработавший без дефекта двигатель изготовлен на первом заводе?

67.     Два стрелка стреляют по одной и той же мишени независимо друг от друга. Ве­роятность попадания в мишень у первого стрелка равна 0,4, а  у второго - 0,6. После стрельбы в мишени обнаружена пробоина. Найти вероятность того, что в мишень попал первый стрелок.

68.     В оружейном шкафу хранятся 6 пистолетов Макарова и 4 пистолета ТТ. Вероятность поражения мишени из пистолета Макарова – 0,7; из пистолета ТТ – 0,8. Какова вероятность поражения стрелком мишени из наугад взятого пистолета?

69.     В оружейном шкафу хранятся 6 пистолетов Макарова и 4 пистолета ТТ. Вероятность поражения мишени из пистолета Макарова – 0,7; из пистолета ТТ – 0,8. Стрелок поразил мишень из наугад взятого пистолета. Из какого оружия более вероятнее был произведен выстрел?

70.     Вероятность поражения мишени при одном выстреле равна 0,6. Какова вероятность поражения мишени хотя бы один раз при 3 выстрелах? Сколько независимых выстрелов необходимо произвести, чтобы вероят­ность поражения мишени была больше:  0,95;  0,99?

71.     Два равносильных шахматиста играют в шахматы. Что вероятнее: а) выиграть одну партию их двух или две из четырех? б) выиграть две партии их четырех или три из шести? Ничьи не учитываются.

72.     Случайным образом подбрасывается монета. Что вероятнее: то, что «герб» выпадет три раза при четырех подбрасываниях или то, что «герб» выпадет пять раз при восьми подбрасываниях?

73.     Случайным образом подбрасывается монета. Что вероятнее: то, что «герб» выпадет не менее трех раз при четырех подбрасываниях или то, что «герб» выпадет не менее пяти раз при восьми подбрасываниях?

74.     В систему противовоздушной обороны входят два зенитных комплекса, каждый из которых поражает цель самолет противника с вероятностью 0,6 независимо от другого. Найти вероятность поражения 4 самолетов противника, если в воздушном налете участвовало 7 самолетов.

75.     Вероятность забросить мяч в корзину для баскетболиста равна 2/3. Сколько нужно сделать бросков, чтобы с вероятностью не менее 0,95 быть уверенным в том, что мяч хотя бы один раз окажется в корзине?

76.     Вероятность раскрытия следователем уголовного дела равна 0,75. Вероятность вынесения обвинительного приговора в суде 0,6. Найти вероятность осуждения 6 обвиняемых при производстве 10 независимых уголовных дел, если в каждом уголовном деле присутствует только один подозреваемый.

Предыдущая | Главная | Глава 5 | Следующая