6.2. Числовые характеристики дискретных случайных величин

 

Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто построение закона или ряда распределения представляет весьма трудоемкую задачу, либо закон распределения неизвестен вовсе. На практике иногда бывает достаточно описать случайную величину «суммарно», указав ее отдельные числовые параметры, до некоторой степени характеризующие существенные черты распределения случайной величины. К таким параметрам можно отнести среднее значение, около которого группируются возможные значения случайной величины; число, характеризующее степень разбросанности значений случайной величины относительно среднего и др. Назначение таких характеристик – выразить компактно, в сжатой форме наиболее существенные особенности распределения. Все эти характеристики называются числовыми характеристиками случайной величины.

Так, для полной характеристики успеваемости учащегося и прогнозирования получения им оценки в будущем можно построить ряд распределения его оценок. Однако достаточно часто успеваемость характеризуется лишь одной, средней оценкой.

Числовые характеристики играют большую роль в теории вероятностей, поскольку, оперируя ими, можно значительно упростить ряд практических вероятностных задач и получить важные результаты. Например, в тех случаях, когда на численный результат эксперимента оказывают влияние отдельные случайные величины и их достаточно много, то закон распределения результирующей случайной величины, оказывается, не будет зависеть от законов распределения составляющих величин. В этих случаях для анализа результирующей величины необходимо лишь знать некоторые числовые характеристики отдельных случайных величин.

Рассмотрим наиболее важные числовые характеристики случайной величины.

6.2.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины

Рассмотрим дискретную случайную величину Х, принимающую значения , , …,  с вероятностями , , …,.

Сумма произведений всех возможных значений случайной величины на вероятности этих значений называется математическим ожиданием случайной величины и обозначается М[X].

M[X] = ×+×+…+×=                         (6.3)

Пример 6.6. Найти математическое ожидание дискретной случайной величины, ряд распределения которой:

М[X]=1×0,2+3×0,5+5×0,3=0,2+1,5+1,5=3,2

Вероятностный смысл этой числовой характеристики таков: математическое ожидание случайной величины приближенно равно среднему значению случайной величины.

Пусть произведено n испытаний, в которых случайная величина приняла  раз значение ,  раз значение , …,  раз значение , причем ++…+ =n. Тогда среднее арифметическое  всех значений, принятых случайной величиной Х, вычисляется по формуле: =.

Или =. Заметим, что  - относительная частота значения ,  - относительная частота значения , …,  - относительная частота значения . Если число испытаний n достаточно велико, то относительная частота приближенно равна вероятности появления события: », », …, ». Тогда »×+×+…+×. Значит,

» M[X].

         Математическое ожидание приближенно равно среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины. Равенство будет тем точнее, чем больше число испытаний.

         Математическое ожидание больше наименьшего и меньше наибольшего возможных значений. Поэтому можно сказать, что математическое ожидание характеризует положение случайной величины на числовой оси, т.е. указывает некоторое среднее значение, около которого группируются все возможные значения случайной величины. Такое среднее значение является «представителем» случайной величины и может замещать ее при грубых оценочных расчетах.

         Свойства математического ожидания случайной величины:

1.                Математическое ожидание постоянной величины равно самой величине:

М[C]=C.

2.                Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

М[C×Х]=C×M[X].

3.                Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий этих величин:

М[Х+Y]=M[X]+M[Y].

4.                Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий этих величин:

М[Х×Y]=M[X]×M[Y].

(Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения принимает другая величина.)

Пример 6.7. Вычислим математическое ожидание для случайной величины из примера 6.1. Подставляя возможные значения 0 и 1 и соответствующие им вероятности в формулу (6.3), получаем:

M[X]=0×+1×=.

        

Вообще говоря, если мы рассмотрим случайную величину Х – число появлений события А в одном испытании, при вероятности этого события, равной p, то математическое ожидание Х равно: M[X]=0×(1–p)+1×p= p.

         Итак, математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события.

          Пример 6.8. Найдем математическое ожидание для случайной величины из примера 6.4, задаваемой рядом распределения:

M[X] = 0×0,064+1×0,288+2×0,432+3×0,216 = 1,8.

         Рассмотрим математическое ожидание биномиально распределенной случайной величины, например, величины, задаваемой как число появлений события А в n независимых испытаниях. Вероятность появления события А в каждом испытании одинакова и равна p. Можно доказать следующую теорему.

Математическое ожидание M[X] числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность p появления события одинакова,  равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании:

M[X]=np.

         Действительно, в примере 6.4 n=3, а p=0,6 и M[X]= n×p=3×0,6=1,8.

6.2.2. Дисперсия дискретной случайной величины

         Можно привести пример двух дискретных случайных величин Х и Y, которые имеют различные возможные значения и при этом одинаковые математические ожидания. Рассмотрим следующие ряды распределения Х и Y: 

Математические ожидания величин Х и Y равны друг другу:

M[X] = -100×0,5+100×0,5 = -50+50 = 0

M[Y] = -1×0,5+1×0,5 = -0,5+0,5 = 0

         Возможные значения величин Х и Y значительно отличаются. Таким образом, зная лишь математическое ожидание случайной величины, нельзя судить ни о ее возможных значениях, ни о рассеянии значений около математического ожидания.

         Зададимся вопросом, как можно задать величину разброса возможных значений величины. На практике эта величина чрезвычайно важна. Например, ее необходимо знать, оценивая кучность поражения мишени при стрельбе из пистолета. На первый взгляд, кажется, что необходимо проанализировать отклонение случайной величины от M[X].

         Отклонением называют разность между случайной величиной и ее математическим ожиданием: Х – М[Х].

         Однако оказывается, что математическое ожидание отклонения случайной величины равно 0:

М[Х – М[Х]]=0.

         Действительно, М[Х – М[Х]]= М[Х] – M[М[Х]]= М[Х] – M[Х]=0.

         Это объясняется тем, что одни отклонения положительны, а другие – отрицательны. И в результате их взаимного сложения значение отклонение будет равно 0. Поэтому отклонение случайной величины нельзя использовать для оценки ее рассеяния. Для этого чаще всего вычисляют среднее значение квадрата отклонения, называемое дисперсией.

         Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:

D[Х] = М[(Х – М[Х])²].                                       (6.4)

Рассмотрим дискретную случайную величину Х, принимающую значения , , …,  с вероятностями , , …,. Используя в выражении (6.4) определение математического ожидания (6.3), получим следующую формулу для вычисления дисперсии:

D[Х] = =

×+×+…+×.              (6.5)

         Для вычисления дисперсии также можно пользоваться следующей формулой:

D[Х] = М[Х²] – (М[Х])².                                       (6.6)

Докажем формулу (6.6). Раскрыв квадрат разности, получим:

 D[Х] = М[(Х – М[Х])²] = М[Х² – 2×Х×М[Х]+ М[Х]²].

Учитывая, что М[Х] – это некоторое постоянное число, раскроем предыдущее равенство так: D[Х] = М[Х²]–M[2×Х×М[Х]]+M[М[Х]²] = М[Х²]– 2×(М[Х])² +(М[Х])²  = М[Х²] – (М[Х])².

Таким образом, D[Х] = М[Х²] – (М[Х])² = – (М[Х])²  =× +× + … + ×– (М[Х])².

Пример 6.9. Найти дисперсию случайной величины, ряд распределения которой:

         В примере 6.6 мы подсчитали математическое ожидание этой случайной величины: М[X]=3,2. Теперь вычислим дисперсию. По определению D[X]=(1-3,2)²×0,2 + (3-3,2)²×0,5 + (5-3,2)²×0,3 = (-2,2)²×0,2 + (-0,2)²×0,5 + 1,8²×0,3 = 4,84×0,2 + 0,04×0,5 + 3,24×0,3=1,96.

         Для нахождения дисперсии можно воспользоваться и формулой (6.6):

D[X]=1²×0,2+3²×0,5+5²×0,3–3,2²=1×0,2+9×0,5+25×0,3–10,24=0,2+4,5+7,5–10,24 =1,96.

         Как видно из вычислений, 2-й способ – по формуле (6.6) – значительно проще.

Свойства дисперсии случайной величины:

1.                Дисперсия постоянной величины равна нулю:

D[C]=0.

2.                Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, возводя его в квадрат:

D[C×Х]=C²×M[X].

3.                Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D[Х+Y]=D[X]+D[Y].

4.                Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:

D[Х–Y]=D[X]+D[Y].

Пример 6.10. Вычислим дисперсию случайной величины, ряд распределения которой имеет вид (пример 6.1):

Вспомним, что для этой случайной величины M[X]=. Используя формулу (6.5), получаем:

D[X]=(0–)²×+(1–)²×=×+×=.

 

Рассчитаем дисперсию числа появлений события А в одном испытании, если вероятность этого события равна p. Математическое ожидание Х равно: M[X]= p. Дисперсия случайной величины Х:

D[X]=(0–p)²×(1–p)+(1–p)²×p = p×(1–p) × (1–p+p)= p×(1–p).

        

         Рассмотрим случайную величину X – число появления события А в n независимых испытаниях и найдем ее дисперсию. Вероятность появления события А в каждом испытании постоянна. По прежнему будем обозначать ее через p, а вероятность непоявления события А через q=1–p.

Дисперсия D[X] числа появлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность p появления события одинакова, равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании:

M[X]=npq.

         Дисперсия биномиально распределенной случайной величины, рассматриваемой в примере 6.4 (n=3, а p=0,6), равна D[X]=n×p×(1–p)= 3×0,6×0,4=0,72

6.2.3. Среднее квадратическое отклонение

Легко заметить, что в отличие от математического ожидания, размерность дисперсии равна квадрату размерности случайной величины. Для характеристики рассеивания более удобно использовать другую величину, размерность которой совпадает с размерностью величины. Такой характеристикой является среднее квадратическое отклонение.

 Средним квадратическим отклонением случайной величины X  называется квадратный корень из дисперсии:

.

Пример 6.11. Найти среднее квадратическое отклонение случайной величины, ряд распределения которой (примеры 6.6, 6.9):

         Дисперсия этой случайной величины была вычислена в примере 6.9: D[X] =1,96. Следовательно, =1,4.

        

         6.2.4. Одинаково распределенные взаимно независимые случайные величины

         Рассмотрим n взаимно независимых случайных величин , , …, , которые имеют одинаковые распределения, и следовательно, одинаковые характеристики (математическое ожидание М, дисперсию D, среднее квадратическое отклонение s. Введем новую случайную величину — среднее арифметическое рассматриваемых величин :

и изучим числовые характеристики .

Математическое ожидание среднего арифметического одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин равно математическому ожиданию каждой из этих величин:

М()=М.

Дисперсия среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в n раз меньше дисперсии каждой из этих величин:

D()=D/n.

Среднее квадратическое отклонение среднего арифметического n одинаково распределенных взаимно независимых случайных величин в  раз меньше среднего квадратического отклонения каждой из этих величин:

s()=s/.

Таким образом, среднее арифметическое достаточно большого числа взаимно независимых случайных величин имеет значительно меньшее рассеяние, чем каждая отдельная величина. С увеличением n величина  почти перестает быть случайной и приближается к постоянной М. Тем самым оправдывается рекомендуемый в практической деятельности способ получения более точных результатов измерений: одна и та же величина измеряется многократно, и в качестве ее значения берется среднее арифметическое полученных результатов измерений.

Предыдущая | Главная | Глава 6 | Следующая