6.3.      Функция распределения

 

Способ задания случайной величины посредством ряда распределения не является общим. Он применим только для дискретных случайных величин. Непрерывная случайная величина имеет бесконечное множество значений из некоторого промежутка. Поэтому перечислить все ее возможные значения невозможно. Кроме того, каждое отдельное значение непрерывной случайной величины не обладает отличной от 0 вероятностью. Следовательно, для непрерывной случайной величины невозможно построить ряд распределения.

Целесообразно было бы указать общий способ задания случайной величины любого вида. Для этого и вводят функцию распределения случайной величины.

Рассмотрим случайную величину Х, принимающую какие-либо значения. Для любого действительного числа х можно вычислить вероятность события, состоящего в том, что Х примет значение меньше х – P(X<x). Эта вероятность будет зависеть от числа х, т.е. P(X<x) будет функцией от х. Обозначим эту функцию ее через F(x).

Функцией распределения случайной величины Х называется функция F(x), равная вероятности того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, меньшее х:

F(x)= P(X<x).

         Функция распределения — самая универсальная характеристика случайной величины, полностью ее задающая. Она является одной из форм закона распределения. Функция распределения может быть задана как для дискретной, так и для непрерывной случайной величины.

         Геометрический смысл функции распределения таков: F(x) есть вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, которое на числовой оси лежит левее точки х.

Свойства функции распределения:

1.                  Значения функции распределения принадлежат отрезку [0, 1]:

0£F(x)£1.

         Действительно, F(x)= P(X<x), а вероятность P(X<x)Î [0, 1].

2.                  F(x)  – неубывающая функция, т.е.

если >, то F()³F().

         Доказательство. Пусть >. Событие, состоящее в том, что Х примет значение меньшее   (Х<), можно разделить на два несовместных события:

1)   Х примет значение, меньшее  с вероятностью P(X<);

2)   Х примет значение, лежащее в полуинтервале £Х< с вероятностью P(£Х<).

По теореме сложения вероятностей имеем

P(X<)=P(X<)+P(£Х<).

         Отсюда

P(X<) – P(X<)=P(£Х<),

F() – F()=P(£Х<).

         Так как, P(£Х<)³0, то F()–F()³0. И, следовательно,

F()³F().

Следствие. Вероятность того, что случайная величина примет значение в интервале (£Х<) равна приращению функции распределения на этом интервале:

P(£Х<)=F() – F().

 

3.                 На минус бесконечности функция распределения равна 0:

F(–¥)=0.

На плюс бесконечности функция распределения равна 1:

F(+¥)=1.

          Не записывая и не доказывая эти свойства математически строго, проиллюстрируем их геометрически. Вспомним, что F(x) есть вероятность того, что случайная величина Х в результате испытания примет значение, которое на числовой оси лежит левее точки х. Будем неограниченно уменьшать значение х, т.е. перемещать точку х по оси Ох влево к –¥. Попадание при этом случайной точки Х левее х становится невозможным событием, поэтому и вероятность этого события стремится к 0, F(–¥)=0. Аналогично, неограниченно увеличивая х, перемещая точку х по оси Ох вправо, убеждаемся, что F(+¥)=1, так как событие X<x становится достоверным.

          Таким образом, график функции распределения представляется в виде неубывающей функции, ограниченной прямыми y=0 и y=1.

Пример 6.12. Построим функцию распределения для дискретной случайной величины, ряд распределения которой:

         Если x£1, то F(x)=0, так как событие X<x невозможно – величина Х не принимает значений, меньших 1.

В полуинтервале 1<x£3 только одно значение случайной величины Х=1 удовлетворяет неравенству X<x. Вероятность такого события P(X<x), а следовательно, и функция распределения F(x) равна 0,2.

          Если 3<x£5, то событие X<x может быть осуществлено двумя способами: когда Х может принимать значение 1 с вероятностью 0,2 и значение 3 с вероятностью 0,5. Эти события несовместны, поэтому F(x)=P(X<x)=0,2+0,5=0,7.

          При х³5 событие X<x – достоверно. Значит, вероятность P(X<x)=1. F(x)=1.

          Итак, функция распределения случайной величины задается следующим образом:

          График функции распределения приведен на рис.6.5.

Рис.6.5

 

         Зная ряд распределения дискретной случайной величины,

можно легко вычислить функцию распределения F(x):

F(x)=P(X<x)=.

Неравенство  под знаком суммы указывает, что производится суммирование тех вероятностей , которые соответствуют значениям , меньшим х.

         График функции распределения дискретной случайной величины представляет собой разрывную ступенчатую линию, скачки которой происходят в точках, соответствующих значениям случайной величины, и равны вероятностям этих значений. Сумма всех скачков F(x) равна 1.

         Общий вид функции распределения дискретной случайной величины приведен на рис. 6.6.

Рис. 6.6

Предыдущая | Главная | Глава 6 | Следующая